4. Условный экстремум в случае отображений нормированных пространств.

Точно так же, как и для числовой функции нескольких переменных, нетрудно получить решение задачи об условном экстремуме и в случае отображений нормированных пространств. Для этого мы воспользуемся необходимым условием экстремума для функционалов (см. дополнение 3 к гл. 12).

Утверждение. Пусть — вещественный функционал, определенный в некоторой окрестности 2 точки произведения двух банаховых пространств и дифференцируемый в этой точке Пусть — отображение окрестности 2 в нормированное пространство непрерывно дифференцируемое в окрестности 2, причем Если отображение — обратимый оператор, то для того, чтобы функционал рассматриваемый на подмножестве 2, определяемом условием имел в точке локальный экстремум, необходимо, чтобы существовал такой функционал А, отображающий нормированное пространство в вещественную ось, что

Последнее условие можно трактовать как необходимое ловие экстремума, функционала Лагранжа Роль множителя Лагранжа здесь играет функционал .

Доказательство. Рассмотрим соотношение в окрестности Е точки . По теореме о неявном отображении уравнение можно разрешить относительно аргумента у и тем самым множество точек удовлетворяющих условию , в окрестности Е точки можно представить в виде элементов множества где — непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки функция

Таким образом, задача об условном экстремуме для функционала при условии свелась к задаче нахождения локального экстремума для функционала Воспользуемся необходимым условием экстремума для дифференцируемого функционала Согласно результатам дополнения 3 к гл. 12 получим, что Однако

Поэтому условие равносильно выполнению равенства

Учитывая, что и что линейный функционал

действует из пространства в числовую ось (действительно, имеем во-первых, что а во-вторых, из равенства

получим, что

Равенства

очевидно, и завершают доказательство.

Если рассматривается частный случай отображения окрестности точки произведения двух конечномерных пространств в пространство при условии, что то в координатной форме необходимое условие экстремума, очевидно, имеет вид

где - набор вещественных чисел, см. также формулу (13.55).

В частности, если отображение переводит окрестность Е в вещественную ось, т. е. функция вещественнозначная мы получаем уже найденное нами ранее необходимое условие экстремума функции при условии, что функция Заметим, что в этом случае очевидно, что вектор заменяется одним вещественным числом — множителем Лагранжа.