Главная > Математический анализ. Начальный курс
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

4. Второе достаточное условие перегиба.

На случай, когда нежелательно исследование знака второй производной в окрестности точки с, мы сформулируем второе достаточное условие перегиба, предполагающее существование у функции в точке с конечной третьей производной.

Теорема 7.9. Если функция имеет в точке с конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям то график этой функции имеет перегиб в точке

Доказательство. Из условия и из теоремы 6.1 вытекает, что функция либо возрастает, либо убывает в точке с. Так как то и в том, и в другом случае найдется такая окрестность точки с, в пределах которой имеет разные знаки слева и справа от с. Но тогда по предыдущей теореме график функции имеет перегиб в точке

Замечание. Конечно, теорема 7.9 имеет более узкую сферу действия, чем теорема 7.8. Так, теорема 7.9 не решает вопроса о наличии перегиба для случая, когда у функции не существует конечной третьей производной, а также для случая, когда . В последнем случае для решения вопроса о наличии, перегиба нужно изучить поведение в точке с производных высших порядков, что будет сделано нами ниже (см. п. 5).

Возвратимся к примеру, рассмотренному в и покажем что вопрос о наличии перегиба у графика функции может быть решен и при помощи теоремы 7.9. В самом деле, значит, точка является точкой перегиба согласно теореме 7.9.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru