4. Второе достаточное условие перегиба.

На случай, когда нежелательно исследование знака второй производной в окрестности точки с, мы сформулируем второе достаточное условие перегиба, предполагающее существование у функции в точке с конечной третьей производной.

Теорема 7.9. Если функция имеет в точке с конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям то график этой функции имеет перегиб в точке

Доказательство. Из условия и из теоремы 6.1 вытекает, что функция либо возрастает, либо убывает в точке с. Так как то и в том, и в другом случае найдется такая окрестность точки с, в пределах которой имеет разные знаки слева и справа от с. Но тогда по предыдущей теореме график функции имеет перегиб в точке

Замечание. Конечно, теорема 7.9 имеет более узкую сферу действия, чем теорема 7.8. Так, теорема 7.9 не решает вопроса о наличии перегиба для случая, когда у функции не существует конечной третьей производной, а также для случая, когда . В последнем случае для решения вопроса о наличии, перегиба нужно изучить поведение в точке с производных высших порядков, что будет сделано нами ниже (см. п. 5).

Возвратимся к примеру, рассмотренному в и покажем что вопрос о наличии перегиба у графика функции может быть решен и при помощи теоремы 7.9. В самом деле, значит, точка является точкой перегиба согласно теореме 7.9.