§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ

1. Понятие непрерывности функции m переменных.

Рассмотрим функцию «переменных , заданную на некотором множестве пространства . Пусть А — некоторая точка принадлежащая множеству и такая, что в любой -окрестности точки А содержатся точки множества отличные от А.

Формальное определение непрерывности функции в точке. Функция называется непрерывной в точке А, если предел этой функции в точке А существует и равен частному значению

Заметим, что поскольку , то условие непрерывности функции в точке А можно символически записать в виде

Таким образом, для непрерывной в данной точке А функции символ предела и символ характеристики функции можно менять местами.

Точки пространства в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Используя определение предела функции в точке А по Гейне и по Коши, мы придем к определениям непрерывности функции в данной точке по Гейне и по Коши.

Определение 1 (непрерывность функции в данной точке по Г ей не). Функция называется непрерывной в точке А, если для любой сходящейся к А последовательности точек множества задания этой функции соответствующая числовая последовательность значений этой функции сходится к числу

Определение 1 (непрерывность функции в данной точке по Коши). Функция называется непрерывной в точке А, если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любой точки М из множества задания Этой функции, удовлетворяющей условию справедливо неравенство

Замечание. В отличие от определения предела по Гейне, мы опускаем в определении 1 требование Это можно сделать в силу того, что функция определена в точке А и добавление к последовательности сходящейся к числу любого количества новых элементов, равных не нарушит сходимости этой последовательности к

Аналогично, в отличие от определения предела по Коши, мы опускаем в определении 1 требование или, что то же самое, . Это можно сделать в силу того, что функция определена в точке А и при неравенство справедливо для любого

Можно сформулировать и еще одно эквивалентное определение непрерывности функции в данной точке А.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке А, если для любой окрестности точки пространства найдется такая окрестность точки странства что образ всех точек множества задания функции, лежащих в этой окрестности точки А, при отображении, осуществляемом функцией целиком лежит в указанной окрестности точки

Пусть теперь множество точек пространства в любой -окрестности каждой точки М которого содержатся другие точки этого множества. Такое множество называется плотным в себе.

Определение 2. Функция определенная на множестве называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке М этого множества.

Назовем приращением или полным приращением функции в точке А функцию определяемую формулой

где М — любая точка из области задания функции. Пусть точки А и М имеют соответственно координаты . Обозначим . Используя эта обозначения, получим для приращения функции соответствующего приращениям аргументов следующее выражение:

Очевидно, для непрерывности функции в точке А необходимо и достаточно, чтобы ее приращение представляло собой бесконечно малую в точке А функцию, т. е. необходимо достаточно, чтобы

Условие (12.7) естественно назвать разностной формой условия непрерывности функции в точке А.