§ 8. ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ

В приложениях математики часто встречаются понятия векторной функции и ее производной.

Если каждому значению переменной t из некоторого множества ставится в соответствие по известному закону определенный вектор а, то говорят, что на множестве задана векторная функция

Так как каждый вектор а в заданной декартовой прямоугольной системе координат однозначно определяется тремя координатами и то задание векторной функции эквивалентно заданию трех скалярных функций

Понятие векторной функции приобретает особую наглядность при обращении к так называемому годографу этой функции (т. е. геометрическому месту концов всех векторов приложенных к началу координат О). На рис. 5.4 кривая представляет собой годограф векторной функции

Рис. 5.4

Понятие годографа векторной функции является естественным обобщением понятия графика скалярной функции.

Введем понятие производной векторной функции в данной фиксированной точке

Зададим аргументу в точке t произвольное приращение и рассмотрим соответствующий вектор приращения (На рис. 5.4 указанный вектор совпадает с

Умножив указанный вектор на число мы получим новый вектор

коллинеарный прежнему. Этот вектор (5.58) является аналогом разностного отношения (5.5).

Вектор (5.58), очевидно, представляет собой среднюю скорость изменения векторной функции на сегменте

Производной векторной функции в данной фиксированной точке t называется предел при вектора (5.58) (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной векторной функции пользуются символы а или

Из геометрических соображений очевидно, что производная векторной функции представляет собой вектор, касательный к годографу этой функции.

Так как координаты разностного отношения (5.58) соответственно равны

то ясно, что координаты производной равны производным функций Таким образом, вычисление производной векторной функции сводится к вычислению производных ее координат.

Замечание 1. Так как векторная функция определяет закон движения материальной точки по кривой представляющей собой годограф этой функции, то производная (I) равна скорости движения по указанной кривой.

Замечание 2. Из курса аналитической геометрии известны различные типы произведений векторов (скалярное произведение, векторное произведение и смешанное произведение). Выражение всех этих произведений в координатах дает возможность указать правила, по которым вычисляются производные соответствующих произведений векторных функций. В качестве примера приведем правило вычисления производной скалярного произведения двух векторных функций Аналогичное правило справедливо и для векторного произведения двух векторных функций: