6. Интегрируемость в элементарных функциях некоторых тригонометрических и иррациональных выражений.

В рассуждениях настоящего пункта важную роль будет играть рациональная функция от двух аргументов. С определения такой функции и выяснения некоторых ее свойств и начнем наше изложение.

Многочленом степени от двух аргументов х и у называется выражение вида

в котором через аж, обозначены некоторые постоянные вещественные числа такие, что среди чисел есть хотя бы одно число, отличное от нуля.

Рациональной функцией от двух аргументов называется выражение вида

в котором через обозначен произвольный многочлен от двух аргументов х и у степени а через обозначен произвольный многочлен от двух аргументов х и у степени т.

Справедливо следующее тривиальное утверждение: если -рациональная функция от двух аргументов три произвольных рациональных функции от одной переменной то выражение вида

представляет собой рациональную функцию от одной переменной.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что в результате применения к рациональным функциям одной

переменной t операций сложения, вычитания, умножения и деления мы снова получим рациональные функции одной переменной

В дальнейшем для доказательства интегрируемости в элементарных функциях некоторых выражений мы будем посредством специально подобранной подстановки сводить интеграл от рассматриваемых выражений к интегралу от рациональной дроби. Пр» этом мы будем говорить, что интеграл от рассматриваемого выражения рационализируется указанной специальной подстановкой.

1°. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Договоримся всюду в дальнейшем символом! обозначать любую рациональную функцию от двух аргументов X и у.

В этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных функциях любой функции вида

Докажем, что интеграл от этой функции рационализируется подстановкой Действительно,

так что

Если положить в правой части (8.60) мы получим интеграл от выражения вида (8.58), который представляет собой интеграл от рациональной функции аргумента

Пример. Вычислить интеграл где Применяя универсальную тригонометрическую подстановку получим

Далее нужно отдельно рассмотреть два случая:

В случае

В случае

2°. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. В этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных функциях любой функции вида

где а, b, с и d — некоторые постоянные, — любое целое положительное число. Функцию такого вида мы будем называть дробнолинейной иррациональностью.

Докажем, что интеграл от функции при рационализируется подстановкой . В самом деле,

так что

Если положить то в правой части (8.62) мы получим интеграл от выражения вида (8.58), который представляет собой интеграл от рациональной функции аргумента Тем самым доказано, что интеграл от дробно-линейной иррациональности (8.61) рационализируется подстановкой

Пример. Вычислить интеграл Сделав подстановку

и учитывая, что получим

Интегрирование квадратичных иррациональностей. В этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных функциях любой функции вида

где и с — некоторые постоянные. Функцию такого вида будем называть квадратичной иррациональностью. При этом мы, конечно, считаем, что квадратичный трехчлен с не имеет равных корней (иначе корень из этого трехчлена может быть заменен рациональным выражением).

Мы докажем, что интеграл от функции (8.63) всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера.

Сначала рассмотрим случай, когда квадратичный трехчлен имеет комплексные корни. В этом случае знак квадратного трехчлена совпадает со знаком а, и поскольку по смыслу квадратный трехчлен (из которого извлекается квадратный корень) положителен, то

Таким образом, мы имеем право сделать следующую подстановку:

Подстановку (8.64) обычно называют первой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализирует интеграл от функции (8.63) для рассматриваемого случая. Возводя в

квадрат обе части равенства получим так что

Таким образом,

Под знаком интеграла в правой части (8.65) стоит выражение (8.58) при Таким образом, в правой части (8.65) мы получаем интеграл от рациональной дроби.

Рассмотрим теперь случай, когда квадратный трехчлен имеет несовпадающие вещественные корни

В таком случае Докажем, что в этом случае интеграл от функции (8.63) рационализируется посредством подстановки

называемой обычно второй подстановкой Эйлера. В самом деле, возводя в квадрат равенство и сокращая полученное равенство на получим так что

Таким образом,

В правой части (8.67) под знаком интеграла стоит выражение вида (8.58) при Таким образом, в правой части (8.67) мы получаем интеграл от рациональной дроби.

Примеры. 1) Вычислить интеграл

Поскольку квадратный трехчлен имеет комплексные корни, сделаем первую подстановку Эйлера

Возвышая в квадрат обе части равенства получим или так что

Таким образом,

Неопределенные коэффициенты А, В и D легко вычисляются: Окончательно получим

2) Вычислить интеграл Поскольку квадратный имеет вещественные корни сделаем вторую подстановку Эйлера (8.66)

Возвышая в квадрат обе части равенства будем иметь

так что

Таким образом,

Получаем интеграл от рациональной дроби, вычисление которого предоставляем читателю.