§ 4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА

1. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную.

Теорема 6.5. Если функция дифференцируема всюду на интервале и если всюду на этом интервале то функция является постоянной на интервале

Доказательство. Пусть — некоторая фиксированная точка интервала — любая точка этого интервала.

Сегмент или соответственно целиком принадлежит интервалу Поэтому функция дифференцируема (а значит, и непрерывна) всюду на этом сегменте. Это дает право применить к функции на этом сегменте теорему Лагранжа Согласно этой теореме внутри указанного сегмента найдется точка такая, что

По условию производная функции равна нулю всюду в интервале Значит, и из формулы (6.6) мы получим

Равенство (6.7) утверждает, что значение функции в любой точке х интервала равно ее значению в фиксированной точке Это и означает, что функция постоянна всюду на интервале Теорема доказана.

Теорема 6.5 имеет простой геометрический смысл: если касательная в каждой точке некоторого участка кривой параллельна оси то указанный участок кривой представляет собой отрезок прямой, параллельной оси

Замечание. Теорема 6.5 будет использована нами в гл. 8 «Первообразная функция и неопределенный интеграл». Во всем остальном гл. 8 является независимой от гл. 6 и 7 и может читаться сразу после гл. 5.