§ 6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

1. Понятие производной n-го порядка.

Как уже отмечалось в п. 2 § 1, производная функции определенной и дифференцируемой на интервале представляет собой функцию, также определенную на интервале Может случиться, что функция сама является дифференцируемой в некоторой точке х интервала т. е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции в точке х и обозначают символом или

После того как введено понятие второй производной, можно последовательно ввести понятие третьей производной, затем четвертой производной и т. д. Если предположить, что нами уже введено понятие производной и что производная дифференцируема в некоторой точке х интервала т. е.

имеет в этой точке производную, то указанную производную называют производной (или производной порядка) функции в точке х и обозначают символом или

Таким образом, мы вводим понятие производной индуктивно, переходя от первой производной к последующим. Соотношение, определяющее производную, имеет вид

Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную порядка , обычно называют раз дифференцируемой на данном множестве.

Понятие производных высших порядков находит многочисленные применения. Здесь мы ограничимся тем, что укажем механический смысл второй производной. Если функция описывает закон движения материальной точки вдоль оси то, как мы уже знаем из гл. 1, первая производная дает мгновенную скорость движущейся точки в момент времени х. В таком случае вторая производная равна скорости изменения скорости, т. е. равна ускорению движущейся точки в момент времени х.

Методика вычисления производных высшего порядка предполагает умение вычислять только производные первого порядка, ибо последовательное применение формулы (5.45) есть не что иное, как многократное вычисление первых производных. В качестве примеров вычислим производные n-го порядка некоторых простейших элементарных функций