6. Примеры.

1) Найдем длину части дуги астроиды лежащей в первой четверти. Этой части, как нетрудно видеть, соответствует изменение параметра t от 0 до . В рассматриваемом случае Поэтому по формуле (10.7) получим

2) Вычислим длину дуги параболы Поскольку по формуле (10.14) получим

Неопределенный интеграл вычислим, следующим образом. Сначала проинтегрируем его по частям, затем к числителю дроби, получившейся под знаком интеграла, прибавим и вычтем единицу, произведем деление и проинтегрируем одну из получившихся дробей. Получим

Нами получено уравнение относительно величины I. Решив его, находим, что

Таким образом,

3) Найдем длину дуги логарифмической спирали от точки до точки . По формуле (10,15) имеем, что

4) Найдем переменную длину дуги эллипса отсчитываемую от точки Рассмотрим параметрическое уравнение эллипса По формуле (10.17) получим

Число называется эксцентриситетом эллипса

Первообразная функции обращающаяся в нуль при называется эллиптическим интегралом рода (см. § 4 гл. 8). Этот интеграл обозначается символом и не выражается через элементарные функции.