ДОПОЛНЕНИЕ

Отображения банаховых пространств. Аналог теоремы о неявной функции

1. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции.

В § 1 гл. 13 мы установили теорему 13.1 существования и дифференцируемости неявной функции, зависящей от числовых аргументов причем эта функция находилась как решение уравнения в окрестности некоторой точки

Ниже мы убедимся, что указанная теорема 13.1 без больших изменений переносится с числовых функций на отображения произвольных банаховых пространств.

Предпошлем формулировке и доказательству этой теоремы некоторые обозначения.

Символом В мы обозначим некоторое банахово (т. е. полное нормированное) пространство.

Символом будем обозначать нормированное пространство, через обозначим прямое произведение множеств X и т. е. множество всевозможных упорядоченных пар для которых

Всюду ниже под производной некоторого отображения мы понимаем сильную производную, введенную в дополнении 3 к гл. 12.

Докажем теорему об отображениях нормированных пространств, обобщающую теорему 13.1 о неявной функции.

Теорема. Пусть и В — линейные нормированные пространства, причем В — банахово пространство, Е — окрестг ность точки принадлежащей произведению пространств — отображение окрестности в пространство обладающее следующими свойствами:

непрерывно в точке

в) частная производная т. е. производная по аргументу у при фиксированном элементе х , существует в и непрерывна в точке а оператор имеет ограниченный обратный оператор

г) частная производная существует в каждой точке окрестности Е и непрерывна в самой точке

При этих условиях в некоторой окрестности точки пространства определено отображение такое, что:

непрерывно в точке

если — какое-либо отображение, определенное в некоторой окрестности точки обладающее свойствами то в некоторой окрестности точки

отображение дифференцируемо в точке и

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что (в противном случае можно сделать замену и утверждение сведется к указанному случаю

Согласно условию теоремы окрестность 2 точки (0,0) принадлежит произведению пространств и В. Очевидно, что окрестность 2 содержит такую окрестность точки (0,0), которая является прямым произведением окрестности точки и окрестности точки

Итак, можно считать, что и

Рассмотрим при фиксированном х отображение

окрестности точки в пространство В. Подчеркнем, что в силу условий теоремы отображение определено при и его значения лежат в пространстве Отображение определено и непрерывно в точке (0,0). По условию в) отображение имеет обратное Таким образом, последовательное применение отображений т. е. отображение определено и его значения лежат в В.

Заметим, что точка является неподвижной точкой отображения (см. дополнение 2 к гл. 12) тогда и только тогда, когда Таким образом, отыскание и исследование функции сводится к отысканию и исследованию неподвижных точек отображения

Для того чтобы отыскать неподвижные точки отображения применим принцип сжимающих отображений.

Заметим для этого, что при любом фиксированном элементе таком, что отображение дифференцируемо по у в области что следует из свойства производной сложной функции (см. дополнение 3 к гл. 12, п. 1, свойство 3), причем

здесь Е — единичный оператор. Поскольку, согласно свойству 2 (дополнение 3 к гл. 12), производная ограниченного линейного оператора есть сам этот оператор, т. е. то мы получим, что

Отображение по условию а) теоремы непрерывно в точке (0,0), поэтому всегда можно найти такую окрестность точки в которой

Следовательно, при получим, что

Всюду ниже будем считать, что и поэтому

По формуле конечных приращений для отображений при любом фиксированном и любых таких, что получим (см. дополнение 3 к гл. 12, п. 2)

Здесь мы воспользовались тем, что при и при любом

Таким образом, — семейство сжимающих отображений окрестности точки в пространстве В, причем коэффициент сжатия 1/2 не зависит от параметра

Для того чтобы применить принцип сжимающих отображений к отображению следует указать то полное метрическое или нормированное пространство, которое при этом отображении переходит в себя.

Укажем это пространство. Зафиксируем произвольное число такое, что . Покажем, что существует такое число что при любом (эту окрестность в пространстве обозначим через отображение преобразует замкнутый шар с центром в точке 0 и радиуса в пространстве В в себя.

Действительно, в силу того, что отображение непрерывно в точке (0,0), и того, что для указанного найдется такое положительное число что при

Далее, если то в силу того, что отображение сжимающее, и полученной оценки для имеем

Следовательно, преобразует замкнутый шар пространства В в себя. Элемент х при этом фиксирован и

Замкнутый шар является метрическим пространством, причем (в силу замкнутости) полным. В самом деле, В — полное метрическое пространство. Всякая фундаментальная последовательность точек сходится к точке которая в силу замкнутости принадлежит Поэтому — полное метрическое пространство и — сжимающее отображение, определенное на нем. Согласно принципу неподвижной точки (см. дополнение 2 к гл. 12) получаем, что при каждом найдется единственная точка в шаре неподвижная относительно отображения Для этой точки справедливо соотношение

или

если

Следовательно, функция удовлетворяет уравнению Эта функция непрерывна в нуле, так как по любому положительному мы можем найти такое что при отображение переводит шар в себя, т. е. единственная неподвижная точка этого отображения при принадлежит шару т. е. удовлетворяет условию

Утверждение полностью доказано.

Далее, поскольку

то в силу единственности неподвижной точки имеем при Тем самым установлено утверждение

Далее, если — отображение, удовлетворяющее условиям в некоторой окрестности точки то найдется такое что при При одновременно будут выполнены соотношения В силу того, что будет справедливо равенство

при любом таком, что

Следовательно, — также неподвижная точка отображения принадлежащая шару Однако неподвижная точка может быть только одна, поэтому в окрестности

Тем самым доказано утверждение

Осталось установить утверждение о дифференцируемости неявной функции.

Обозначим через линейный ограниченный оператор, действующий из в В по правилу

Проверим, что этот оператор является производной отображения в точке 0. Напомним, что для этого необходимо существование для каждого такого что для любого х, удовлетворяющего условию выполнено неравенство

Учитывая, что и используя выражение для запишем соотношение

Поскольку то с помощью формулы конечных приращений для отображений получим, обозначая буквой у функцию

где величина может быть сделана сколь угодно малой (в силу непрерывности в точке (0,0) производных если величина достаточно мала. Таким образом, Отсюда при достаточно малом получаем Достаточно выбрать так, чтобы было выполнено неравенство

Дифференцируемость отображения в точке 0 доказа на, и утверждение установлено.

Таким образом, теорема полностью доказана.