Глава 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

§ 1. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ

1. Понятие простой кривой.

Начнем наше рассмотрение с выяснения понятия кривой. Пусть на сегменте заданы две непрерывные функции Аргумент этих функций будет в дальнейшем называться параметром. Рассмотрим плоскость , т. е. совокупность всевозможных упорядоченных пар чисел х и у. Каждая такая пара называется точкой плоскости, а числа х и у называются координатами этой точки. Точка может обозначаться также одной буквой М, при этом запись означает, что точка М имеет координаты х и у.

Если рассматривать параметр t как время, то уравнения

определяют закон движения точки М с координатами х и у на плоскости. Множество точек М, отвечающих всевозможным значениям параметра t из можно рассматривать как след точки М, движущейся по закону (10.1).

В общем случае даже для непрерывных функций этот закон движения может быть очень сложным. Например, можно так подобрать непрерывные на сегменте функции изменении параметра t на этом сегменте точки заполняют целый квадрат.

Введем понятие простой плоской кривой.

Определение. Множество всех точек М, координаты х и у которых определяются уравнениями при t из , называется простой плоской кривой если различным значениям параметра t из отвечают разные точки множества

Каждую точку множества определяющего простую плоскую кривую, называют точкой этой кривой, причем точки, отвечающие граничным значениям параметра называются граничными точками простой кривой.

При этом говорят, что «уравнения (10.1) определяют простую плоскую кривую или «простая плоская кривая параметризована при помощи уравнений

Примером простой кривой является график полуокружности радиуса лежащей в верхней полуплоскости с центром в начале координат:

Более общим примером простой кривой является график непрерывной на сегменте функции параметризацию этой кривой вводят по правилу

Заметим, что простые кривые не исчерпывают всего множества кривых, которые могут быть определены уравнениями (10.1).

В следующем пункте мы рассмотрим более общие кривые, определяемые этими уравнениями.

В заключение этого пункта сделаем два замечания.

Замечание 1. Одна и та же простая кривая может быть параметризована различными способами. Целесообразно рассматривать только те параметризации, которые получаются из данной путем представления параметра t в виде непрерывных строго монотонных функций другого параметра При таких преобразованиях параметра сохраняется порядок следования точек на кривой

Замечание 2. Пусть — две простые кривые, причем граничные точки кривой совпадают с граничными точками кривой а любые не граничные точки кривых и различны. Кривая полученная объединением кривых называется простой замкнутой кривой.