§ 4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ

1. Свойства интеграла.

Выясним основные свойства интеграла Римана.

а) Пусть функции интегрируемы на сегменте Тогда функции также интегрируемы на этом сегменте, причем

Действительно, при любом разбиении сегмента и любом выборе промежуточных точек справедливы следующие равенства:

Поэтому, если существует предел правой части при стремлении диаметра разбиений к нулю, то существует предел и левой части. Из линейных свойств этого предела, которые устанавливаются точно так же, как и для предела последовательностей, вытекает доказываемое свойство.

б) Если функция интегрируема на сегменте то функция где также интегрируема на этом сегменте, причем

В самом деле, для любого разбиения сегмента и любого выбора промежуточных точек выполнено соотношение

откуда, так же как и выше, получаем доказательство утверждения б).

Следствие. Лйнейная комбинация интегрируемых функций является интегрируемой функцией.

в) Пусть функциц интегрируема на сегменте Тогда также интегрируема на этом сегменте.

Запишем очевидное тождество:

Заметим, далее, что в силу теоремы 9.4 из интегрируемости какой-либо функции следует интегрируемость ее квадрата. Поскольку функции по свойству а) интегрируемы, то по сказанному интегрируемы и их квадраты, а следовательно, в силу указанного, функция интегрируема.

г) Пусть функция интегрируема на сегменте Тогда эта функция интегрируема на любом сегменте содержащемся в сегменте

Выберем произвольное число и такое разбиение сегмента что . Добавим к точкам разбиения точки . Для верхних сумм и нижних вновь полученного разбиения в силу леммы 3 § 2 тоже будет справедлива оценка Рассмотрим разбиение сегмента образованное точками разбиения всего сегмента Для верхних и нижних сумм и разбиения выполнено, очевидно, соотношение поскольку каждое неотрицательное слагаемое в выражении будет слагаемым и в выражении Таким образом, и функция интегрируема на сегменте Свойство г) доказано.

Будем по определению всегда считать, что интеграл Римана от функции, взятый в пределах от точки а до точки а, равен нулю, т. е. Это свойство следует рассматривать как соглашение. Условимся также о том, что при по определению для любой интегрируемой функции

Эту формулу следует также рассматривать как соглашение.

Если функция интегрируема на сегментах то функция интегрируема и на сегменте причем

При это свойство справедливо в силу принятых выше соглашений.

Предположим сначала, что Выберем произвольное число Пусть — такие разбиения что на каждом из этих сегментов Пусть — разбиение сегмента состоящее из точек разбиений Очевидно, что разность между верхней и нижней суммами разбиения не будет превосходить е. Интегрируемость функции на сегменте доказана. Пусть теперь — произвольное разбиение сегмента содержащее с. Тогда

где 2 берется по частичным сегментам, принадлежащим по частичным сегментам, принадлежащим Поскольку это верно для любого разбиения, то, перейдя к пределу при стремлении диаметра разбиений к нулю, получим, что

Если с не принадлежит то сегмерт принадлежит либо либо . Пусть, например, . В силу свойства г) функция интегрируема на Действительно, функция интегрируема на по условию, Далее, поскольку

по принятому соглашению Таким образом, свойство д) установлено нами и для случая, когда с лежит вне сегмента Заметим, что формулу этого свойства можно записать так: