§ 3. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

1. Определение точки перегиба. Необходимое условие перегиба.

Пусть и с — некоторые три числа, связанные неравенствам» Предположим, что функция дифференцируема на интервале т. е. существует касательная к графику этой функции во всех точках, абсциссы которых принадлежат интервалу Предположим, кроме того, что график функции имеет определенное направление выпуклости на каждом; из интервалов

Определение. Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки с оси абсцисс, в пределах которой график функции слева и справа от с имеет разные направления выпуклости.

Рис. 7.10

На рис. 7.10 изображен график функции, имеющий перегиб в точке

Иногда при определении точки перегиба графика функции дополнительно требуют, чтобы указанный график всюду в пределах достаточно малой окрестности точки с оси абсцисс слева и справа от с лежал разные стороны от касательной к этому графику в точке Ниже мы докажем, что это свойство будет вытекать из данного нами определения в предположении, что производная является непрерывной в с.

Докажем следующие две леммы.

Лемма 1. Пусть функция имеет производную всюду в -окрестности точки с, причем эта производная непрерывна в точке с. Тогда, если график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз [вверх], то всюду в пределах интервала этот график лежит не ниже [не выше] касательной к графику, проведенной в точке

Доказательство. Рассмотрим последовательность точек интервала сходящуюся к точке с. Через каждую точку графика функции проведем [касательную к этому графику, т. е. прямую

Так как по условию график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз [вверх], то для любого иомера и любой фиксированной точки х интервала

Из условия непрерывности (и тем более в точке с и из определения непрерывности по Гейне вытекает, что существует предел

Из существования последнего предела в силу неравенства и теоремы 3.13 из § 1 гл. 3 мы получим, что

Если обозначить через У текущую ординату касательной (7.5), проходящей через точку то последнее неравенство можно переписать в виде

Итак, переходя в к пределу при и используя теорему 3.13, мы получим, что для любой фиксированной точки х из интервала причем обозначает текущую ординату касательной, проведенной через точку Лемма доказана.

Замечание. Аналогично формулируется и доказывается лемма 1 и для случая, когда график функции имеет определенное направление выпуклости не на интервале а на интервале с).

Лемма 2. Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки с, причем эта производная непрерывна в точке с. Тогда, если график функции имеет перегиб, в точке то в пределах достаточно малой -окрестности точки с этот график слева и справа от с лежит по разные стороны от касательной, проведенной через точку

Для доказательства этой леммы следует выбрать -настолько малым, чтобы на каждом из интервалов график функции имел определенное направление выпуклости (это направление будет различным на интервалах После этого для доказательства леммы 2 остается применить лемму 1 к функции по каждому из интервалов

Лемма 2 позволяет нам установить необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой в данной точке функции

Теорема 7.7 (необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой функции). Если функция имеет в точке с вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке то

Доказательство. Пусть, как выше, — текущая ордината касательной , проходящей через точку графика

Рассмотрим функцию

равную разности и линейной функции

Эта функция как и функция имеет в точке с вторую производную (а потому имеет первую производную в некоторой окрестности с, причем эта первая производная непрерывна в. точке с). В силу леммы 2 в малой окрестности точки с график функции лежит слева и справа от с по разные стороны: от касательной, проходящей через точку а потому функция в малой окрестности точки с имеет слева и справа: от с разные знаки.

Значит, функция не может иметь в точке с локального экстремума.

Предположим теперь, что Тогда, поскольку выполняются условия и функция в силу теоремы 7.2 имеет в точке с локальный экстремум. Полученное противоречие доказывает, что предположение является неверным, т. е. Теорема доказана.

Тот факт, что обращение в нуль второй производной является лишь необходимым условием перегиба графика дважды дифференцируемой функции, вытекает, например, из рассмотрения:

графика функции Для этой функции вторая производная обращается в нуль в точке но ее график не имеет перегиба в точке

В силу теоремы 7.7 для отыскания всех точек перегиба графика дважды дифференцируемой функции нужно рассмотреть все корни уравнения

Поскольку равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба, то нужно дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой точке, Для которой Для проведения такого исследования следует установить достаточные условия перегиба, к чему мы и переходим.