4. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме.

Целью этого пункта является получение формулы Тейлора для функции в окрестности произвольной точки а с остаточным членом в так называемой интегральной форме.

Пусть функция имеет в некоторой -окрестности точки а непрерывную производную порядка. Пусть х принадлежит указанной окрестности. Рассмотрим равенство

Полагая применим к интегралу формулу интегрирования по частям. Получим

Таким образом, последовательно интегрируя по частям, получим

где

Мы видим, что является остаточным членом разло жения Тейлора для функции в окрестности точки а. Эта форма остаточного члена и называется интегральной формой.

Если применить первую формулу среднего значения (см. свойство д) п. 2 § 4), то

где I — некоторая точка сегмента Следовательно, тех же предположениях мы получим остаточный член в форме Лагранжа. На самом деле, легко заключить (используя теорему Дарбу о прохождении производной через все промежуточные значения), что при условии существования и интегрируемости

Рассмотрим теперь примеры, иллюстрирующие изложенный в этом параграфе материал.

Примеры. 1) Вычислить интегралы, применяя основную формулу интегрального исчисления:

2) Вычислить интегралы, применяя правило замены переменной:

где

где

3) Вычислить интеграл, применяя правило интегрирования по частям:

Отсюда: при

Легко видеть, что По индукции получаем, что для

4) Доказать, что для функции остаточный член в интегральной форме стремится к нулю, если Заметим, что

Из очевидных неравенств следует, что

Далее, поскольку — числа одного знака, то

Следовательно,

где не зависит от . Иными словами,

Рассмотрим какое-либо число удовлетворяющее условию Так как

то найдется такой номер что при Отсюда вытекает, что при Устремляя в этом неравенстве к убеждаемся в том, что а следовательно, и стремится к нулю.