4. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме.
Целью этого пункта является получение формулы Тейлора для функции 
в окрестности произвольной точки а с остаточным членом в так называемой интегральной форме.
Пусть функция 
имеет в некоторой 
-окрестности точки а непрерывную производную 
порядка. Пусть х принадлежит указанной окрестности. Рассмотрим равенство
Полагая 
применим к интегралу 
формулу интегрирования по частям. Получим
Таким образом, последовательно интегрируя по частям, получим
где
Мы видим, что 
является остаточным членом разло жения Тейлора для функции 
в окрестности точки а. Эта форма остаточного члена и называется интегральной формой.
Если применить первую формулу среднего значения (см. свойство д) п. 2 § 4), то
где I — некоторая точка сегмента 
Следовательно, 
тех же предположениях мы получим остаточный член в форме Лагранжа. На самом деле, легко заключить (используя теорему Дарбу о прохождении производной через все промежуточные значения), что 
при условии существования и интегрируемости 
Рассмотрим теперь примеры, иллюстрирующие изложенный в этом параграфе материал.
Примеры. 1) Вычислить интегралы, применяя основную формулу интегрального исчисления:
2) Вычислить интегралы, применяя правило замены переменной:
где 
где 
3) Вычислить интеграл, применяя правило интегрирования по частям:
Отсюда: 
при 
Легко видеть, что 
По индукции получаем, что для 
4) Доказать, что для функции 
остаточный член 
в интегральной форме стремится к нулю, если 
Заметим, что
следует, что
— числа одного знака, то
не зависит от 
. Иными словами,
удовлетворяющее условию 
Так как
что 
при 
Отсюда вытекает, что 
при 
Устремляя в этом неравенстве 
к 
убеждаемся в том, что 
а следовательно, и 
стремится к нулю.
