3. Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей.

Во вводной главе мы уже отмечали, что понятие числа относится к так называемым начальным понятиям (т. е. к понятиям, которые могут быть разъяснены, но не могут быть строго определены, ибо всякая попытка дать строгое определение такого понятия неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным). Мы введем понятие вещественных чисел, отправляясь от множества бесконечных десятичных дробей.

Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей (как положительных, т. е. взятых со знаком так и отрицательных, т. е. взятых со знаком

Мы будем придерживаться следующего плана.

Для множества всех чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, мы введем операцию упорядочения. После этого мы убедимся, что для введенной нами операции упорядочения остается справедливым то же самое свойство 4°, которое сформулировано в для рациональных чисел (т. е. свойство транзитивности знаков

Наличие только одного этого свойства позволит нам доказать замечательную теорему о том, что у множества чисел, представимых бесконечными десятичными дробями и ограниченных сверху (или соответственно снизу), существует число, представимое бесконечной десятичной дробью и являющееся точной верхней (или соответственно точной нижней) гранью указанного множества чисел.

После этого вводятся операции сложения и умножения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Это дает нам возможность ввести вещественные числа как такие числа, которые представимы бесконечными десятичными дробями и для которых указанным нами способом определены операции упорядочения, сложения и умножения. Доказанная нами теорема о существовании точных граней позволит доказать существование суммы и произведения двух любых вещественных чисел, а также справедливость для этих чисел тех же самых 16 основных свойств, которые сформулированы в п. 1 для рациональных чисел.

Приступим к реализации указанного плана.

В этом пункте мы введем для чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, операцию упорядочения и установим, что эта операция обладает свойством 4°, сформулированном в для рациональных чисел (т. е. свойством транзитивности знаков

Рассмотрим произвольное число, представимое бесконечной десятичной дробью, отличной от Это число мы будем называть положительным, если оно представимо бесконечной десятичной дробью, взятой со знаком и отрицательным, если оно представимо бесконечной десятичной дробью, взятой со знаком

Числа, не являющиеся положительными, мы будем называть неположительными, а числа, не являющиеся отрицательными, — неотрицательными.

Сразу же отметим, что все рациональные числа относятся к множеству чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Представление данного рационального числа бесконечной десятичной дробью можно получить двумя способами:

1) взяв точку М, отвечающую данному рациональному числу на числовой оси, и произведя измерение отрезка с помощью масштабного отрезка способом, указанным в

2) взяв обыкновенную дробь представляющую данное рациональное число, и поделив числитель на знаменатель «столбиком»

Мы представляем читателю убедиться в том, что оба эти способа эквивалентны друг другу. Так, при любом из указанных способов рациональному числу 1/2 ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь рациональному числу бесконечная десятичная дробь

Прежде чем перейти к формулировке правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, рассмотрим вопрос о представлении в виде бесконечных десятичных дробей тех рациональных чисел, которые представимы в виде конечной десятичной дроби.

Заметим, что такие рациональные числа допускают два представления в виде бесконечных десятичных дробей. Например, рациональное число можно представить в виде двух бесконечных десятичных дробей:

Вообще, рациональное число где можно записать в виде двух бесконечных десятичных дробей:

Естественно, мы должны отождествить указанные две бесконечные десятичные дроби (т. е. считать, что они представляют одно и то же вещественное число).

Рассмотрим теперь два произвольных вещественных числа а и b и предположим, что эти числа представляются бесконечными десятичными дробями

где из двух знаков — в каждом представлении берется какой-то один.

Исключим уже рассмотренный выше случай, когда обе бесконечные десятичные дроби в (2.3) имеют одинаковые знаки и служат двумя различными представлениями одного и того же рационального числа, представимого конечной десятичной дробью. После исключения этого случая договоримся называть два числа а и b равными, если их представления в виде бесконечных десятичных дробей (2.3) имеют одинаковые знаки и если справедлива бесконечная цепочка равенств

Итак, мы называем два числа а и b равными, если их представления в виде бесконечных десятичных дробей (2.3) имеют одинаковые знаки и если либо справедлива цепочка равенств (2.4), либо бесконечные десятичные дроби в (2.3) служат двумя представлениями одного и того же рационального числа, представимого конечной десятичной дробью.

Пусть даны два неравных числа а и представимых бесконечными десятичными дробями. Установим правило, позволяющее заключить, каким из двух знаков, или связаны эти числа.

Договоримся называть модулем числа а, представимого бесконечной десятичной дробью, число, представимое той же самой бесконечной десятичной дробью, что и число а, но всегда взятой со знаком

Модуль числа а будем обозначать символом Число всегда является неотрицательным.

Рассмотрим отдельно три возможных случая: 1) случай, когда а и b оба неотрицательны; 2) случай, когда оба числа а и отрицательны; 3) случай, когда одно из чисел а и b неотрицательно, а другое отрицательно.

1) Пусть сначала а и b оба неотрицательны и имеют представления Так как числа а и b не являются равными, то нарушается хотя бы одно из равенств (2.4).

Обозначим через наименьший из номеров для которого нарушается равенство т. е. предположим, что

Тогда мы будем считать, что если и будем считать, что если

2) Пусть теперь , а числа а и отрицательны. Тогда мы будем считать, что если если

3) Пусть, наконец, одно число (например, а) неотрицательно, а другое число отрицательно. Тогда, естественно, мы будем считать, что

Итак, мы полностью сформулировали правило упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями.

Чтобы сделать, сформулированное правило безупречным с логической точки зрения (или, как говорят в математике, корректным), докажем следующую лемму.

Лемма. Если произвольное неотрицательное число, при — два различных представления одного и того же рационального числа то условие эквивалентно условию , а условие эквивалентно условию

Эта лемма позволяет при упорядочении двух неравных чисел не заботиться о том, какое из двух возможных представлений в виде бесконечной десятичной дроби взято для числа, представимого конечной десятичной дробью.

Доказательство. Для полного доказательства леммы следует доказать четыре утверждения: 1) из вытекает из вытекает из вытекает из вытекает

Мы ограничимся доказательством утверждений 1) и 2), ибо утверждения 3) и 4) доказываются аналогично.

Пусть Тогда по правилу упорядочения найдется номер такой, что

(в этих соотношениях следует считать все равными нулю).

Сразу же заметим, что ибо при неравенство не может выполняться, так как

Если при этом то, поскольку при все десятичные знаки до порядка и совпадают, условия очевидно, эквивалентны.

Остается рассмотреть случай . В этом случае соотношения (2.5) принимают вид Самое последнее неравенство эквивалентно неравенству . Если при этом то по правилу упорядочения

Если же в указанном последнем неравенстве то все десятичные знаки у чисел а и до порядка совпадают. Поскольку у числа все десятичные знаки порядка, большего равны девяти, то и в этом случае ибо у числа а все десятичные знаки порядка, большего не могут быть равны девяти (в силу того, что а не равно

Итак, утверждение 1) доказано.

Перейдем к доказательству утверждения 2). Предположим, что Договоримся о следующих обозначениях бесконечных десятичных дробей, представляющих числа Ь и

В этих представлениях

Иными словами, справедлива цепочка соотношений

С другой стороны, поскольку найдется номер такой, что справедлива цепочка соотношений

Обозначим через наименьший из двух номеров и и сопоставим между собой две последние цепочки соотношений. Используя свойства транзитивности знаков для целых чисел, мы получим при этом следующую цепочку соотношений:

Полученные соотношения на основании правила упорядочения вещественных чисел устанавливают справедливость неравенства Тем самым утверждение 2) также доказано.

Еще раз подчеркнем, что доказанная лемма позволяет при упорядочении двух чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, пользоваться любым из двух представлений в виде бесконечной десятичной дроби для рациональных чисел, представимых конечной десятичной дробью.

Легко убедиться в том, что сформулированное правило упорядочения в применении к двум рациональным числам, представленным в виде бесконечных десятичных дробей, приводит к тому же результату, что и прежнее правило упорядочения рациональных чисел, представленных в виде отношения двух целых чисел.

В самом деле, достаточно рассмотреть случай двух неотрицательных рациональных чисел а и Пусть согласно прежнему правилу упорядочения рациональных чисел, и пусть Отложив рациональные числа а и на числовой оси, мы получим отвечающие

им точки причем, поскольку отрезок больше отрезка Из описанного в п. 2 процесса измерения отрезка числовой оси вытекает, что целое число показывает, сколько раз часть масштабного отрезка укладывается в отрезке а целое число показывает, сколько раз часть укладывается в отрезке Поскольку отрезок больше отрезка то найдется номер такой, что но это и означает, что согласно правилу упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Докажем теперь, что для сформулированного нами правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, остается справедливым свойство 4°, приведенное в для рациональных чисел, т. е. докажем, что для любых трех чисел и с, представимых бесконечными десятичными дробями, из справедливости неравенств вытекает справедливость неравенства (свойство транзитивности знака а из справедливости равенств вытекает справедливость равенства (свойство транзитивности знака

Свойство транзитивности знака сразу же вытекает из справедливости соответствующего свойства для целых чисел.

Докажем свойство транзитивности знака Пусть Требуется доказать, что

Рассмотрим три возможных случая: 1) с неотрицательно; 2) с отрицательно, а неотрицательно; 3) с отрицательно и а отрицательно.

1) Пусть сначала с неотрицательно. Тогда b также неотрицательно, ибо если бы b было отрицательно, то в силу правила упорядочения мы получили бы, что и это противоречило бы условию Далее, повторяя те же рассуждения, мы получим, что и а неотрицательно (ибо в противном случае мы получили бы, что и это противоречило бы условию

Итак, в рассматриваемом случае все три числа и с неотрицательны. Записав представления этих чисел бесконечными десятичными дробями

мы получим, что в силу условия найдется номер такой, что

Аналогично в силу условия найдется номер такой, что

Обозначим через наименьший из двух номеров и р. Тогда, очевидно, из соотношений (2.6) и (2.7) и из справедливости свойства транзитивности знаков для целых чисел вытекает, что а это и означает (по правилу упорядочения), что

2) Пусть теперь с отрицательно, а неотрицательно. Тогда (независимое от знака числа неравенство справедливо в силу правила упорядочения.

3) Рассмотрим, наконец, случай, когда оба числа а и с отрицательны. Заметим, что в этом случае и b отрицательно (ибо в противном случае мы получили бы из правила упорядочения, что и это противоречило бы условию

Итак, в рассматриваемом случае все три числа и с отрицательны. Но в таком случае (в силу правила упорядочения) неравенства эквивалентны неравенствам Из последних двух неравенств (в силу свойства транзитивности знака уже доказанного нами в случае 1) для неотрицательных чисел) вытекает, что а это и означает (в силу правила упорядочения отрицательных чисел а и с), что Тем самым доказательство свойства транзитивности знака полностью завершено.