3. Сложная функция и ее непрерывность.

Функции, полученные в результате суперпозиции двух или нескольких функций, мы будем называть сложными. Под суперпозицией двух функций мы понимаем функцию, полученную в результате наложения или последовательного применения указанных двух функций в определенном порядке. Ясно, что достаточно определить сложную функцию, полученную в результате суперпозиции только двух функций. Указанный алгоритм можно будет применять, беря суперпозицию трех и большего конечного числа функций.

Пусть функция задана на множестве и пусть — множество ее значений. Допустим, что на множестве задана функция Тогда говорят, что на множестве задана сложная функция или где

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.2. Пусть функция непрерывна в точке а, а функция непрерывна в точке Тогда сложная функция непрерывна в точке а.

Доказательство. Пусть — произвольная последовательность значений аргумента сложной функции, сходящаяся к а. Так как функция непрерывна в точке а, то (в силу определения 1 непрерывности по Гейне) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу Далее, поскольку функция непрерывна в точке и для нее указанная выше последовательность сходящаяся к является последовательностью значений аргумента, то (в силу того же определения 1 непрерывности по Гейне) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Итак, для любой последовательности значений аргумента сложной функции, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений самой сложной функции сходится к числу . В силу определения 1 непрерывности по Гейне сложная функция непрерывна в точке а. Теорема доказана.