§ 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.

В предыдущем параграфе мы рассматривали вопрос о существовании и дифференцируемости неявной функции, определяемой посредством одного функционального уравнения. В этом параграфе мы рассмотрим аналогичный вопрос для совокупности (m — любое натуральное число) неявных функций, определяемых: посредством системы функциональных уравнений.

Итак, предположим, что функций

ищутся как решение системы функциональных уравнений

Изучим вопрос о разрешимости системы функциональных уравнений (13.14) относительно . Под термином «решение системы (13.14)» мы в дальнейшем будем понимать совокупность функций (13.13) таких, что при подстановке этих функцию в систему все уравнения этой системы обращаются в тождества. Это решение мы будем называть непрерывным и дифференцируемым в некоторрй области D изменения переменных если каждая из функций (13.13) непрерывна

дифференцируема в области Договоримся обозначать символом пространство переменных а символом пространство переменных

Рассмотрим функций стоящих в левых частях системы (13.14), и составим из частных производных этих функций следующий определитель:

Будем называть определитель вида (13.15) определителем Якоби (или кратко якобианом) функций по переменным и кратко обозначать символом

Имеет место следующее замечательное утверждение.

Теорема 13.2 (обобщение теоремы 13.1). Пусть функций

дифференцируемы в некоторой окрестности точки пространства причем частные производные этих функций по переменным непрерывны в точке Тогда если в точке все функции (13.16) обращаются в нуль, а якобиан отличен от нуля в то для достаточно малых положительных чисел найдется такая окрестность точки пространства что в пределах этой окрестности существуют единственные функций (13.13), которые удовлетворяют условиям и являются решением системы уравнений (13.14), причем это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окрестности точки

Замечание. При теорема 13.2 переходит в доказанную выше теорему 13.1, ибо в этом случае якобиан (13.15) обращается в частную производную

Доказательство теоремы 13.2 проведем методом математической индукции. При теорема уже доказана. Поэтому достаточно, предположив теорему 13.2 справедливой для системы функциональных уравнений, доказать справедливость этой теоремы и для системы функциональных уравнений. Поскольку, по предположению, якобиан

отличен от нуля в точке то хотя бы один из миноров порядка этого якобиана отличен от нуля в точке Не ограничивая общности, будем считать, что в точке отличен от нуля обведенный пунктиром минор, стоящий в левом верхнем углу. Тогда в силу предположения индукции первые уравнений системы (13.14) разрешимы относительно . Точнее, для достаточно малых положительных чисел найдется такая окрестность точки пространства переменных что в пределах этой окрестности определены функций

которые удовлетворяют условиям и являются при наличии этих условий единственным и дифференцируемым решением системы первых уравнений (13.14).

Подставим найденные функции (13.18) в левую часть последнего из уравнений (13.14). При этом левая часть последнего из уравнений (13.14) превращается в функцию, зависящую только от

(эту функцию мы обозначили символом Таким образом, последнее из уравнений системы (13.14) приводит нас к уравнению

В силу равенства (13.19) можно рассматривать как сложную функцию своих аргументов. Тогда, применяя теорему о дифференцируемости сложной функции, мы можем утверждать, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки пространства Равенство (13.19) и последнее из уравнений (13.14) позволяют утверждать, что Поэтому, для того чтобы доказать, что к уравнению (13.20) применима теорема 13.1 и это, уравнение разрешимо относительно достаточно установить, что частная производная непрерывна и отлична от нуля в точке Для того чтобы сделать это, вычислим указанную частную производную. Подставим в первые уравнений системы (13.14) функции (13.18), являющиеся решением этих уравнений, и продифференцируем полученные при этом тождества Получим

Далее продифференцируем по равенство (13.19). Получим

Умножим теперь равенства на соответствующие алгебраические дополнения элементов последнего столбца якобиана (13.17) и после этого сложим эти равенства. Получим

Так как сумма произведений элементов данного столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца равна определителю (нулю), то каждая квадратная скобка равна нулю, а круглая скобка равна якобиану (13.17).

Таким образом, мы получим, что

Здесь символом А обозначен якобиан (13.17), а — алгебраическое дополнение последнего элемента последнего столбца, которое совпадает с минором, обведенным пунктиром и, по предположению, отличным от в точке Поделив равенство (13.22) на окончательно найдем

Формула (13.23), справедливая в точке доказывает непрерывность частной производной в тдчке (ибо А и состоят из частных производных функций (13.16) по непрерывных в точке Кроме того, из формулы (13.23) вытекает, что в точке отлична от нуля (ибо отличен от нуля в точке Тем самым мы доказали, что к уравнению (13.20) можно применить теорему 13.1.

Согласно этой теореме для достаточно малого положительного числа найдется такая окрестность точки пространства что всюду в пределах этой окрестности определена функция

которая удовлетворяет условию и является наличии этого условия единственным, непрерывным и дифференцируемым решением уравнения (13.20). Имея в виду, что функции 13.18) являются решениями первых уравнений (13.14) при любых из окрестности точки и вставляя найденную функцию (13.24) в мы получим функции, зависящие только от переменных

(Эти функции мы обозначили символами Теорема о дифференцируемости сложной функции дает право утверждать, что каждая из функций дифференцируема в окрестности точки Таким образом, мы доказали, что функций

удовлетворяют в окрестности точки условиям

и представляют собой при наличии этих условий непрерывное и дифференцируемое в некоторой окрестности точка решение системы (13.14).

Остается доказать, что функции (13.25) представляют собой единственное решение системы (13.14), удовлетворяющее условиям (при достаточно малых положительных

Предположим что кроме функций (13.25) существуют еще т. функций

также являющихся решением системы (13.14) и удовлетворяющих условиям

Тогда в силу предположения индукции первые функций. (13.25) представляют собой при заданном единственное и, дифференцируемое решение системы первых уравнений. (13.14). Но при заданном единственное решение системы первых уравнений (13.14) дается равенствами (13.18). Таким образом, справедливы соотношения

в которых — те же функции, что и (13.18).

В таком случае последнее уравнение (13.14) и соотношение (13.19) позволяют нам утверждать, что является единственным решением уравнения (13.20), т. е.

При наличии равенства из соотношений (13.18) и (13.18) сразу же вытекает,

Теорема 13.2 полностью доказана.