2. Предел функции по Гейне и по Коши.

Пусть функций определена на некотором бесконечном множестве и пусть а — точка бесконечной прямой быть может и не принадлежащая множеству но обладающая тем свойством, что в любой -окрестности этой точки а имеются точки множества отличные от а.

Например, множеством может служить интервал в этом случае точка а, являясь граничной точкой интервала, ему не принадлежит, но в любой -окрестности а содержатся точки указанного интервала.

Другим примером множества на котором задана функция может служить множество всех рациональных чисел, принадлежащих интервалу с выкинутой точкой а.

Заметим, кстати, что при любом интервал из которого выкинута точка а, принято называть проколотой крестностью точки а.

Определение 1 (предел функции по Число Ь называется пределом (или предельным значением) функции в точке а (или при если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к а и состоящей из чисел отличных от а, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Определение 1 (предел функции по Коши). Число Ь называется пределом (или предельным значением функции в точке а (или при если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число 8 такое что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию справедливо неравенство

Для обозначения предельного значения функции в точке а используют следующую символику:

Прежде чем доказывать эквивалентность определений 1 и сделаем несколько замечаний, разъясняющих смысл этих определений.

Замечание 1. Подчеркнем важность фигурирующего в определении 1 требования, обязывающего элементы последовательности значений аргумента быть отличными от а, и аналогичного требования в определении 1, обязывающего брать значения аргумента х, удовлетворяющие условию т. е. отличные от а. Это требование вызвано уже тем, что функция может быть не определена в точке а. Отсутствие этого требования сделало бы невозможным использование предела функции для определения производной функции. В самом деле, из гл. 1 нам известно, что производная функции в точке а представляет собой предел при следующей функции:

Очевидно, что эта функция не определена в точке а и это вызвано существом дела.

Замечание 2. Особо подчеркнем, что множество на котором задана функция вовсе не обязано сплошь покрывать некоторую проколотую -окрестность точки а. От этого множества требуется только, чтобы оно имело хотя бы один элемент в любой проколотой -окрестности точки а. Примером множества может служить множество всех элементов последовательности лежащих в фиксированной -окрестности точки

Замечание 3. Заметим, что фигурирующее в определении 1 условие эквивалентно соотношениям т. е. означает, что х принадлежит проколотой -окрестности точки а. Аналогично, фигурирующее в определении 1 неравенство (3.58) эквивалентно неравенствам т. е. означает, что принадлежит -окрестности

Замечание 4. Привлекая идею приближения функции в окрестности точки а с наперед заданной точностью мы можем следующим образом перефразировать определение 1 предела функции по Коши: число Ь называется предельным значением функции а, если для любой наперед заданной точности можно указать такую -окрестность точки а, что для всех значений аргумента х, отличных от а и принадлежащих указанной -окрестности точки а, число Ь приближает значение функции с точностью (рис. 3.9).

Замечание 5. Отметим, что функция может иметь в точке а только один предел. В самом деле, для определения предела функции по Гейне это вытекает из единственности предела последовательности а для определения предела функции

по Коши это вытекает из устанавливаемой ниже эквивалентности этого предела пределу функции по Гейне.

Докажем теперь следующую важную теорему.

Теорема 3.19. Определения 1 и 1 предела функции по Гейне и по Коши являются эквивалентными.

Доказательство. 1) Пусть сначала число Ь является пределом функции в точке а по Коши. Докажем, что это же число b является пределом функции в точке а и по Гейне.» Пусть — любая сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. Требуется доказать, что соответствующая последовательность значений функции сходится к

Рис. 3.9

Фиксируем произвольное положительное число и по нему положительное число которое в силу определения предела функции по Коши гарантирует справедливость неравенства (3.58) для всех значений х, для которых

В силу сходимости последовательности к а для указанного положительного числа найдется номер такой, что при всех справедливо неравенство Поскольку для всех номеров то при всех справедливы неравенства и, значит, в силу определения предела функции по Коши при всех справедливо неравенство Это означает, что последовательность сходится к числу

2) Пусть теперь число является пределом функции в точке а по Гейне. Докажем, что это же число Ь является пределом функции в точке а и по Коши. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого положительного числа и для сколь угодно малого положительного числа найдется хотя бы одно значение аргумента х такое, что но

Таким образом, мы можем взять последовательность и утверждать, что для каждого ее элемента найдется хотя бы одно значение аргумента такое, что

Левое из неравенств (3.59) означает, что последовательность сходится к а и состоит из чисел, отличных от а. Но в таком случае согласно определению предела по Гейне соответствующая последовательность значений функции обязана сходиться к числу а этому противоречит правое из неравенств (3.59), справедливое для всех номеров Полученное противоречие доказывает теорему.

Приведем примеры функций, как обладающих, так и не обладающих в данной точке а предельным значением.

1°. Функция имеет равный с предел в каждой точке а бесконечной прямой. В самом деле, для любого значения аргумента х разность равна нулю, и поэтому для любого и для всех значений аргумента (в данном случае для любого в определении предела по Коши можно брать в качестве любое положительное число).

2°. Функция в любой точке а бесконечной прямой имеет предел, равный а. В самом деле, для этой функции последовательности значений аргумента и соответствующих значений функции тождественны, и поэтому, если последовательность сходится к а, то и последовательность также сходится к а.

3°. Функция Дирихле значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных точках — нулю, не имеет предела ни в одной точке а бесконечной прямой. Это вытекает из того, что для сходящейся к а последовательности рациональных значений аргумента предел последовательности соответствующих значений функции равен единице, в то время как для сходящейся к а последовательности иррациональных значений аргумента предел последовательности соответствующих значений функции равен нулю.

Введем теперь понятие одностороннего (т. е. правого или левого) предела функции в данной точке а. Для этого нам прежде всего следует уточнить характер того множества на котором задана функция Мы теперь потребуем, чтобы это множество для любого имело хотя бы один элемент, принадлежащий интервалу [интервалу ].

Определение 2 (правый [левый] предел функ циипо Гейне). Число b называется правым пределом [левым пределом] функции в точке а, если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к а и состоящей из чисел, больших а [меньших а], соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Определение 2 (правый [левый] предел функции по Коши). Число Ь называется правым пределом [левым пределом] функции в точке а, если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента

удовлетворяющих условию [условию ], справедливо неравенство (3.58).

Для обозначения правого [левого] предела функции в точке а используют следующую символику:

или более краткую символику

В полной аналогии с теоремой 3.19 доказывается эквивалентность определений 2 и 2: следует лишь во всех проведенных при; доказательстве этой теоремы рассуждениях брать значения аргумента х и элементы последовательности большими числа [меньшими числа

В качестве примера рассмотрим функцию

Эта функция имеет в точке как правый, так и левый пределы, причем . В самом деле, для любой сходящейся к последовательности состоящей из чисел, больших нуля, соответствующая последовательность сходится к а для любой сходящейся к последовательности состоящей из чисел, меньших нуля, соответствующая последовательность сходится

Из проведенных рассуждений вытекает, что у рассматриваемой функции не существует в точке предела.

Итак, функция не имеет в точке предела, но имеет в этой точке правый предел, равный и левый предел, равный —1. Тот факт, что правый и левый пределы этой функции не равны друг другу, не является случайным, ибо справедливо следующее утверждение: если, функция имеет в точке а как правый, так и левый пределы и если эти односторонние пределы равны одному и тому же числу то эта функция имеет в точке а предел, равный

Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться определениями 1 и 2 и учесть, что если неравенство» (3.58) справедливо для значений аргумента х, удовлетворяющих, условиям то неравенство (3.58) справедливо и для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию

Сформулируем теперь понятие предела функции при Для введения этого понятия следует потребовать, чтобы множество на котором задана функция для любого имело хотя бы один элемент, лежащий вне сегмента

Определение 3 (предел функции при по Гейне). Число называется пределом (или предельным значением) функции при если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Определение 3 (предел функции при по Коши). Число Ь называется пределом (или предельным значением) функции при если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию справедливо неравенство (3.58).

Для обозначения предела функции при используют следующий символ:

В полной аналогии с теоремой 3.19 доказывается эквивалентность определений 3 и 3. Следует лишь в рассуждениях, использованных при доказательстве этой теоремы, всюду заменить сходящуюся последовательность значений аргумента бесконечно большой последовательностью значений аргумента , а неравенство заменить неравенством

Примером функции, имеющей предел при может служить функция . В самом деле, для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции (в силу теоремы 3.6) является бесконечно малой, т. е. имеет «своим пределом число Значит, в силу определения 3

Сформулируем, наконец, понятие предела функции при стремлении х к бесконечности определенного знака. Для введения такого понятия потребуем, чтобы функция была задана на талом множестве которое для любого имеет хотя бы один элемент, лежащий правее [левее — ].

Определение 4 (предел функции при по Гейне). Число называется пределом предельным значением) функции при если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента все элементы которой

положительны [отрицательны], соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Определение 4 (предел функции при по Коши). Число Ь называется пределом (или предельным значением) функции [при ], если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число 8 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию справедливо неравенство (3.58).

Для обозначения введенных понятий используется следующая символика:

Эквивалентность определений 4 и 4 доказывается по схеме доказательства теоремы 3.19: следует только во всех рассуждениях, заменить сходящуюся последовательность значений аргумента на бесконечно большую последовательность значений аргумента состоящую из положительных [отрицательных] чисел а неравенство заменить неравенством

Замечание 6. Отметим, что изученное нами в § 1—3 понятие предела числовой последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции при . В самом деле, если взять в качестве множество всех натуральных чисел, а в качестве функции заданной на этом множестве, ту функцию, которая каждому значению аргумента ставит в соответствие член последовательности то определение предела такой функции при в точности совпадет с опре делением предела числовой последовательности

Замечание 7. Естественно, возникает идея связать воедино все введенные нами понятия пределов функции и предел числовой последовательности. В § 5 настоящей главы вводится? понятие общего предела функции по базе, включающее в себя! как частный случай все введенные нами понятия пределов, функции и понятие предела числовой последовательности.