Глава IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Различные приложения математического анализа и, в частности, приложения в математической физике потребовали обобщения понятия производной (см. [48]). При таком обобщении дифференцируемыми оказываются более широкие классы функций. Ниже будет изложено

это обобщение в таком виде, чтобы охватить дифференцирование разрывных функций.

1. Понятие обобщенной производной.

Чтобы ввести понятие обобщенной производной, начнем с простейшего случая непрерывно дифференцируемой функции. Пусть -функция, заданная на открытом множестве пространства и имеющая непрерывные первые производные. Обозначим через класс непрерывно дифференцируемых финитных в функций. При этом под финитной понимается функция, равная нулю вне некоторого ограниченного замкнутого подмножества множества

Пусть Тогда интегрированием по частям получаем

Обозначим

так что равенство (1.1) запишется в виде

Это равенство имеет место для всех функций класса

Ясно, что если заранее не предполагать, что является производной (1.2), но считать, что равенство (1.3) справедливо для всех то отсюда следует, что имеет место равенство (1.2).

Действительно, из (1.1) и (1.3) мы получаем

при всех Ввиду произвольности отсюда заключаем, что выражение в круглых скобках равно нулю.

Таким образом, для непрерывно дифференцируемых функций можно наряду с обычным определением производной дать еще следующее: функция называется производной функции и по переменной если имеет место равенство (1.3) при всех

Это и есть тот путь, по которому можно пойти для обобщения понятия производной, так как указанное определение может быть применено не только к непрерывно дифференцируемым функциям. Итак, дадим следующее определение.

Определение 1. Пусть и -суммируемые функции на множестве Тогда если имеет место равенство (1.3) для всех то функция называется обобщенной производной функции и по переменной и обозначается

Если такая функция существует, то мы будем говорить, что функция и имеет суммируемую на множестве обобщенную производную

Можно показать, что функция входящая в определение 1, единственна (если она существует).

Определение, которое было дано, еще не является достаточно общим, так как не допускает дифференцирования разрывных функций. Оно может быть обобщено следующим образом.

Определение 2. Пусть -функция, суммируемая на множестве Пусть, далее, существует регулярная конечная мера такая, что для любой функции имеет место равенство

Тогда будем говорить, что обобщенная производная функции и по <переменной является мерой, и писать

для любой функции суммируемой по мере

В частности, полагая в где получим из (1.6)

Легко установить связь между определениями 1 и 2. Именно, если есть функция, входящая в определение 1, то, введя меру

мы можем записать (1.3) в виде (1.6).

Таким образом, определение 1 является частным случаем определения 2. В этом частном случае левая часть равенства (1.7) имеет смысл обычного интеграла по мере Лебега от произведения

Ясно, что обобщенная производная может быть мерой, не являясь суммируемой функцией. Действительно, из (1.9) следует, что если производная суммируема, то мера должна быть абсолютно непрерывной (см. Однако, как показывает следующий пример, существуют функции, обобщенные производные которых не являются абсолютно непрерывными мерами.

Пример. Рассмотрим одномерный случай Пусть -функция, равная нулю при и равная единице при Введем меру определенную на всех открытых подмножествах вещественной оси следующим образом если множество не содержит точку нуль, и если нуль принадлежит множеству Тогда для любой функции имеем

Отсюда мы получаем, что есть мера, причем, очевидно, не абсолютно непрерывная

До сих пор мы говорили о суммируемых функциях и конечных мерах Так как все свойства, связанные с дифференцированием, являются локальными, то имеет смысл говорить о локально суммируемых функциях и о функциях, производные которых локально являются мерами. Это значит, что функция задана на некотором открытом множестве и для любой точки этого множества существует окрестность такая, что на множестве функция суммируема и ее обобщенная производная является мерой в смысле определения 2.