2. Линейные алгебраические системы.
Рассмотрим систему уравнений
где 
- данные, 
- искомые вещественные числа.
Введем матрицу 
и столбцы 
транспонированные к строкам
Тогда систему (2.1) можно записать в виде
Рассмотрим 
-мериое координатное пространство 
элементами которого являются столбцы. Матрице а соответствует оператор Л:
Мы покажем, что для уравнения (2.2) имеют место следующие теоремы.
Теорема 1. Для разрешимости уравнения 
при любой правой части 
необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение
имело только нулевое решение.
Теорема 2. Пространства решений уравнения (2.2) и сопряженного уравнения
имеют одинаковые размерности. (Здесь а — матрица, сопряженная к а.)
Теорема 3. Для разрешимости уравнения (2.2) при заданном векторе 
необходимо и достаточно, чтобы вектор 
был ортогонален по всем решениям уравнения (2.4).
Для доказательства этих теорем рассмотрим область 
значений оператора А, т. е. множество всех векторов вида 
когда х пробегает все пространство 
Обозначим через
столбцы матрицы а. Тогда ясно, что
Когда х пробегает все 
то 
пробегает всевозможные линейные комбинации столбцов (2.5). Таким образом, 
есть пространство, натянутое на столбцы (2.5). Отсюда следует, что размерность пространства 
равна рангу матрицы а.
Обозначим ранг матрицы а через 
Тогда ранг матрицы а также равен 
В силу теоремы 3 п. 1 пространство 
решений уравнения (2.4) ортогонально к 
Следовательно (см. п. 1.5.8), размерность пространства 
равна 
Если бы мы за исходное уравнение взяли 
и учли, что 
то получили бы, что 
имеет размерность 
Таким образом, теорема 2 доказана.
На основании теоремы 3 п. 1
принадлежит 
тогда и только тогда, когда он ортогонален к 
Но именно в этом и состоит содержание теоремы 3. Теорема 1 есть частный случай полученных результатов при 
