3. Некоторые примеры функции Ляпунова.

1. Консервативная механическая система с одной степенью свободы описывается дифференциальным уравнением

эквивалентным системе уравнений 1

где смещение системы, скорость, действующая сила. Функция полной энергии системы

является первым интегралом системы (3 1)

Предположим, что (так что точка равновесия системы (3.1)) и

Тогда положительна в некоторой окрестности точки По теореме 1 точка устойчива Здесь, очевидно, нет асимптотической устойчивости, так как вдоль ненулевой траектории В более общем случае неконсервативпой системы

функция (3 2) по-прежнему положительна при а ее производная в силу эквивалентной системы

имеет вид

В силу предположения неположительна, но обращается в нуль на координатной оси По теореме 1 точка устойчива. Вопрос об асимптотической устойчивости требует дополнительного исследования.

3 Предположим, что в системе (3.4) вместо условий (3.3) имеют место

Тогда при В области о

функция (3 2) положительна и обращается в нуль на границе области содержащей точку Производная функции в силу системы (3.4) по-прежнему имеет вид силу положительна в области По теореме 2 точка неустойчива

4. В силу системы уравнений

производная функции как легко видеть, тождественно равна пулю -первый интеграл) Поэтому точка равновесия устойчива, но не асимптотически устойчива (ненулевые траектории суть окружности

5. Та же функция имеет производную

в силу системы

По теореме 1 при точка асимптотически устойчива. По теореме 2 при точка неустойчива (область есть

Примеры 4 и 5 показывают, что при нелинейном возмущении различными способами одной и той же линейной системы

характер устойчивости точки равновесия может быть самым различным Эта линейная система такова, что матрица ее коэффициентов

имеет чисто мнимые собственные значения

Оказывается, однако, в том случае, когда матрица коэффициентов при линейных членах не имеет нулевых и чисто мнимых собственных значений, устойчивость или неустойчивость точки равновесия полностью определяется линейными членами В этом состоит следующий метод исследования устойчивости.