2. Уравнение теплопроводности.

Будем искать решение уравнения (1.1) при т. е. уравнения

следующего вида:

Сделав замену переменной читатель легко убедится, что подстановка функции (2.2) в уравнение (2.1) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению для нахождения

Мы возьмем только одно решение этого уравнения

которое удовлетворяет соотношению

При любом ненулевым решением уравнения (1.1) при согласно построению оказывается функция

При этом, очевидно,

Для функции (2.3) с константой введем специальное обозначение

При эта функция положительна, бесконечно дифференцируема но их, удовлетворяет уравнению (2.1) и условию

Предоставляем проверить читателю, что при любых функция и все ее производные принадлежат пространству и являются гладкими (а следовательно, и обобщенными) решениями уравнения (2.1) в области Следующие свойства:

вместе с (2.5) означает, что в точке имеет особенность типа -функции.

Лемма 1. Пусть непрерывна в точке и

Тогда

Доказательство. Полагая и используя (2.5), имеем

Предоставим читателю убедиться, что каждый из интегралов стремится к нулю при

Учитывая инвариантность уравнения (2.1) относительно сдвигов по х, можно резко увеличить запас решений. При любом фиксированном решением уравнения (2.1) при оказывается

а также любая линейная комбинация и интеграл

если, конечно, он существует.

Теорема. Формула (2.7) определяет единственное решение задачи Коши для уравнения (2.1) в области при любой начальной функции (при некотором К).

При этом решение бесконечно дифференцируемо (по в области Для непрерывной начальной функции решение

непрерывно в замкнутой области начальному условию удовлетворяет в каждой точке

Доказательство. Какова бы ни была функция

При любых как функции и все ее производные (по принадлежат Поэтому согласно (2.8) формула (2.7) при определяет бесконечно дифференцируемую функцию в области очевидно, удовлетворяющую уравнению (2.1). Из легко проверяемого неравенства

для весовой функции (см. (1.3)) следует оценка

С учетом этого из (2.7), (2.8) имеем при

при каждом Аналогичные оценки имеют место для всех производных Отсюда следует, что вместе со всеми производными при любом Если непрерывна, то по лемме 1 из (2.7) следует

так что оказывается непрерывной в замкнутой области 0. Дальше доказательство опирается на следующую лемму.

Лемма 2. Для непрерывной функции имеет место

Доказательство. Из представления (см. (2.7), (2.5))

для нормы в имеем оценку

Ввиду того что непрерывна (проверить это!) и соотношение (2.10) вытекает из леммы 1.

Таким образом, для непрерывной функции формула (2.7) определяет решение задачи Коши, удовлетворяющее начальному условию как поточечно (см. (2.9)), так и в смысле определения 3 п. 1 (см. (1.8)).

Для доказательства теоремы остается показать (2.10) для произвольной функции

Выберем последовательность непрерывных функций такую, чтобы при Каждой функции отвечает по формуле (2.7) решение Из тождества

при любом имеем неравенство (для норм )

Пусть задано произвольное Выберем настолько большим, чтобы и зафиксируем его. По лемме 2 существует

такое, что при Далее, из представления

имеем оценку

Очевидно, — непрерывная функция и

По лемме 1 существует такое, что при

Из (2.11) следует теперь, что при Ввиду произвольности отсюда следует (2.10). Теорема доказана.

3. Неоднородное уравнение теплопроводности. Построим теперь решение следующей задачи Коши:

Теорема. Единственное решение задачи (3.1) в области определяется формулой

где функция (2.4).

Доказательство. Зная, что первое слагаемое в формуле (3.2) представляет собой решение однородного уравнения (2.1) с условием и и обладает всеми нужными свойствами решения, нам достаточно показать, что второе слагаемое

является решением задачи (3.1) с нулевым начальным условием: В силу инвариантности относительно сдвигов (по ) уравнения (2.1) решением этого уравнения в области является функция следовательно, (см. п. 2) функция

для почти всех При этом

В силу неравенства Коши — Буняковского из (3.4) следует

Умножая это неравенство на и интегрируя по х с учетом неравенства получим

Отсюда для имеем

Таким образом, при каждом и существует след при равный нулю:

При некоторой гладкости функция оказывается гладкой и

т. е. удовлетворяет уравнению (3.1), а значит, равенству

При этом, полагая в имеем при

откуда с учетом (3.5) и оценки (1.11) следует оценка

где С не зависит от Полагая в при имеем

Пользуясь оценкой (1.11) и неравенством

при достаточно малом с помощью (3.7) получаем

с некоторой, не зависящей от константой

Таким образом, производные и оцениваются только через норму в пространстве Это говорит о том, что формула (3.3) определяет ограниченный оператор, действующий из определенный на всех Очевидно, и при произвольном соответствующая функция удовлетворяет равенству (3.6). Теорема доказана.

Функция (см. (2.4)) называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Мы видим, что с ее помощью решение задачи Коши (3.1) представляется через квадратуры (3.2). Читатель легко заметит сходство формул (2.7), (3.2) с соответствующими

формулами для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Есть, однако, существенное отличие, состоящее в том, что формулы для обыкновенных уравнений имеют смысл и для тогда как функция и формулы (2.7), (3.2) теряют смысл при Это является выражением уже отмечавшегося свойства параболических уравнений, описывающих необратимые процессы.

В пп. 2 и 3 мы полагали (см. (1.1)). Особого рассмотрения случай не требует, поскольку является частным случаем рассматриваемого ниже квазилинейного уравнения.