3. Конечномерные операторы.
Пусть по-прежнему 
евклидово пространство и 
конечномерный оператор, т. е. такой оператор, область 
значений которого есть конечномерное пространство. Мы покажем сейчас, что решение уравнения
сводится к решению линейной алгебраической системы. Действительно, как показано в п. III.4.1,
где 
— элементы пространства 
которые можно считать линейно-независимыми.
Пусть 
решение уравнения (3.1). Положим
Тогда из (3.1) и (3.2) следует
Подставляя в (3.4), получим
Мы получили линейную алгебраическую систему относительно 
Легко непосредственно проверить, что каждое решение 
системы (3.6) при подстановке в (3.5) дает решение х уравнения (3.1). Действительно, умножая (3.5) на 
скалярно, получим
На основании (3.6) отсюда следует, что
Подстановка этого в (3.5) дает
и мы доказали, что х, задаваемое равенством (3.5), есть решение уравнения (3.1).
