3. Конечномерные операторы.

Пусть по-прежнему евклидово пространство и конечномерный оператор, т. е. такой оператор, область значений которого есть конечномерное пространство. Мы покажем сейчас, что решение уравнения

сводится к решению линейной алгебраической системы. Действительно, как показано в п. III.4.1,

где — элементы пространства которые можно считать линейно-независимыми.

Пусть решение уравнения (3.1). Положим

Тогда из (3.1) и (3.2) следует

Подставляя в (3.4), получим

Мы получили линейную алгебраическую систему относительно

Легко непосредственно проверить, что каждое решение системы (3.6) при подстановке в (3.5) дает решение х уравнения (3.1). Действительно, умножая (3.5) на скалярно, получим

На основании (3.6) отсюда следует, что

Подстановка этого в (3.5) дает

и мы доказали, что х, задаваемое равенством (3.5), есть решение уравнения (3.1).