4. Принцип максимума.

Вместо неравенств, о которых шла речь в предыдущих пунктах, можно рассматривать неравенство

в множестве не включая никаких условий на границе. Как и выше, мы будем рассматривать обобщенные решения этого неравенства. Именно, обобщенным решением неравенства (4.1) называется функция удовлетворяющая неравенству

для любой неотрицательной функции

Мы по-прежнему предполагаем, что оператор является эллиптическим в что ограниченное открытое связное множество с конечным периметром и его существенная граница.

Теорема 1 (принцип максимума). Пусть выполняется условие

при почти всех Пусть, далее, -обобщенное решение неравенства (4.1), и существует неотрицательная константа такая, что

почти всюду на по -мерной мере.

Тогда при почти всех имеет место неравенство

Доказательство. Обозначим Тогда является обобщенным решением неравенства

Поэтому мы можем воспользоваться теоремой 1 п. 2. Условия этой теоремы выполняются, так как функционал является положительно-определенным в силу эллиптичности оператора и неравенства (4.3). На основании этой теоремы почти всюду в Следовательно, имеет место неравенство (4.5). Теорема доказана.

Чтобы объяснить название «принцип максимума», мы рассмотрим следующий частный случай. Пусть граница множества (так что и пусть есть непрерывная функция на замкнутом множестве Предположим, что есть обобщенное решение неравенства (4.1) в Тогда если максимум функции на множестве положителен, то он достигается на границе этого множества. Действительно, если бы это было не так, то существовала бы положительная константа такая, что

но это противоречит теореме.

При некоторых дополнительных предположениях о гладкости коэффициентов теорема 1 может быть усилена. Именно, мы будем по-прежнему считать, что функция ограничена, и дополнительно предположим, что коэффициенты имеют ограниченные производные.

Теорема 2 (строгий принцип максимума). Пусть выполняется условие (4.3). Пусть, далее, непрерывная на множестве функция является обобщенным решением неравенства (4.1), и существует неотрицательная константа такая, что

почти всюду на по -мерной мере.

Тогда либо тождественно равна всюду в либо во всех точках х множества выполняется неравенство

Доказательство точно такое же, как и в предыдущей теореме, с использованием теоремы п. 3.

Следствие. Пусть выполняется условие (4.3). Пусть, далее, непрерывная на множестве функция является обобщенным решением неравенства (4.1) и в точке достигает положительного локального максимума. Тогда эта функция является константой в некоторой окрестности точки

Вместо неравенства (4.1) можно рассматривать неравенство противоположного смысла. Получаются аналогичные результаты с очевидными изменениями. Их можно получить, заменив на