§ 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение нормированного пространства.
Линейное пространство В называется нормированным, если каждому вектору 
поставлено в соответствие число 
так, что удовлетворяются следующие условия (аксиомы):
Число 
называется нормой вектора х.
Примеры. 1. Евклидово пространство 
Норма вводится равенством 
Условие 1) следует из аксиомы 1) скалярного произведения 
Условие 2) легко проверяется:
Условие 3) выполняется, как показано в п. 3.5.
2. Пространство 
непрерывных функций. Пусть 
непрерывная функция на отрезке [0, 1]. Положим
Проверим, что выполняются условия 
1) Очевидно, 
Если 
то 
при 
Следовательно, 
3) При 1] имеет место неравенство
Следовательно,
Упражнения. 1. Рассмотрим пространство С функций, непрерывных на отрезке [0, 1] Показать, что в нем можно ввести норму
2. Показать, что в пространстве 
могут быть введены следующие нормы для вектора 
