3. Критерий компактности.

В п. 1.4.12 было введено понятие компактности множества в нормированном пространстве. Мы приведем здесь критерий компактности множеств в пространстве (доказательство см. [48]). При этом мы будем предполагать, что есть мера Лебега.

Пусть — ограниченное открытое множество в Рассмотрим пространство функций, заданных на множестве и суммируемых

в степени Мы будем считать функции доопределенными нулем вне 5 и, таким образом, заданными во всем пространстве

Теорема. Для того чтобы множество было компактным, необходимо и достаточно, чтобы:

1) существовала такая константа К, что для всех

2) для любого числа нашлось бы такое, что для всех

если только