2. Основные пространства функций. Обобщенное решение.

Для произвольных достаточно гладких функций в области почленное интегрирование по области (при фиксированном t) выражения с применением формулы Грина приводит к равенству

Если и удовлетворяет уравнению (1.2) и условию (1.6), а обращается в нуль на то, интегрируя (2.1) по имеем

Здесь и ниже обозначает билинейный функционал (ср. с функционалом F гл. VII):

Как и в случае эллиптических уравнений, можно показать обратное: достаточно гладкая функция удовлетворяющая

соотношению (2.2) при любой функции и любом удовлетворяет уравнению (1.2) и граничному условию (1.6). При этом, естественно, приходится использовать непрерывность функций в области и функций при что совершенно не обязательно для соотношения (2.2). Соотношение (2.2), таким образом, можно рассматривать как уравнение (при произвольных для определения функции обобщающее уравнение (1.2) и граничное условие (1.6). Удобство этого уравнения состоит в том, что оно не предполагает гладкости коэффициентов с и других известных функций, может выполняться для менее гладких функций чем того требует уравнение (1.2), и не требует поточечного выполнения условия (1.6). Тем самым соотношение (2.2) можно рассматривать для областей весьма сложной геометрической формы (с одним лишь условием, что это открытое ограниченное множество с конечным периметром), когда трудно придать какой-либо смысл выражению Нужно отметить, что на практике нередко встречаются как негладкая граница, так и разрывные функции и даже разрывные коэффициенты и с. Так что обобщение (2.2) уравнения (1.2) и граничного условия (1.6) имеет не только теоретическое значение, но и отвечает потребностям практики.

Функцию обращающую соотношение (2.2) в тождество по мы будем называть обобщенным решением уравнения (1.2), удовлетворяющим условию (1.6). Точные определения дадим ниже, после того как будут введены необходимые для этого функциональные пространства.

Напоминаем что обозначает пространство функций суммируемых в "Квадрате вместе с первыми производными в области и имеющих суммируемый в квадрате след на границе Пространство есть подпространство пространства состоящее из функций с нулевым следом на множестве Нам понадобятся аналогичные пространства функций, определенных в области (см. (1.4)).

есть пространство функций суммируемых в квадрате в области вместе с первыми производными по и имеющих суммируемый в квадрате след на всей существенной границе области

Еестъ подпространство пространства состоящее из функций с нулевым следом на той части границы где

Через обозначим пространство функций, заданных в области и принадлежащих при любом

Через обозначим пространство функций, заданных в области и принадлежащих при каждом

Очевидно, есть подпространство пространства

Пространства основные функциональные пространства, которые нам понадобятся. Эти пространства не являются нормированными. Сходимость в них означает пр определению сходимость в каждом Заметим, что с уменьшением эти пространства расширяются в том смысле, что при любом если Элементы содержатся в но существенно шире. Например, не принадлежит не суммируема в но принадлежит, очевидно,

Функция не имеет скачков в области (множество точек скачка имеет нулевую -мерную меру в поэтому ее предельные значения сверху и снизу на любой плоскости

совпадают при почти всех Это позволяет считать, что определена при каждом и как функция х принадлежит пространству Этим обстоятельством мы в дальнейшем будем пользоваться.

Определение 1. Мы будем говорить, что функция является следом функции при и писать

если

Мы видели, что не каждая функция имеет след при Однако класс функций, имеющих такой след, вообще говоря, шире, чем

Обратимся теперь к нашей задаче и сформулируем основные ограничения.

Как уже говорилось, область есть ограниченное открытое множество с конечным периметром. Таковым, очевидно, будут и области Удобно ввести обозначения.

так что есть боковая поверхность цилиндра

Коэффициенты и с суть ограниченные измеримые функции в области ограниченная измеримая (по мере функция на 22. В настоящем параграфе мы используем условие параболичности уравнения (1.2) в следующей форме:

для некоторой постоянной при любых и любой

Условие (2.6), очевидно, выполняется при если

при любых кроме того, либо либо при (см (2.5)).

Относительно функций (см. (1.2), (1.5) — мы предполагаем следующее:

При ограниченных и выполнении (2.7) каждый из интегралов в (2.2), (2.3) имеет смысл для любых

Определение 2. Функция называется обобщенным решением уравнения (1.2) в области удовлетворяющим условию (1.6), если для любой функции выполняется (2.2).

Иногда такую функцию мы будем называть решением уравнения (2.2).

Определение 3. Решение уравнения (2.2), удовлетворяющее условиям

называется обобщенным решением граничной задачи (1.2),

Это определение предполагает наличие следа функции при в смысле определения 1 и выполнение начального условия (1.7) в смысле равенства (2.4).

При условия можно заменить одним требованием

Если заданные функции не зависят от то не зависящее от решение уравнения (2.2), удовлетворяющее условию оказывается обобщенным решением в смысле граничной задачи

для эллиптического уравнения

Таким образом, понятие обобщенного решения граничной задачет для параболического уравнения является обобщением соответствующего понятия для эллиптического уравнения.

Задачей (или будем для краткости называть граничную задачу (1.5) — (1.7) для уравнения (1.2) при выполнении условий (2.6), (2.7). Обобщенное решение последней будем называть решением задачи

В частном случае однородных граничных условий Отбудем говорить о задаче (или