2. Ортогонализация последовательности векторов.
Пусть в евклидовом пространстве 
задана линейно-независимая последовательность векторов
(конечная или бесконечная). Следующий процесс построения ортонормированной системы векторов
называется ортогонализацией последовательности (2.1).
Обозначим 
Положим 
Очевидно, 
Далее, обозначим 
и положим 
Ясно, что 
так что 
Пусть уже построены векторы 
так, что они образуют ортонормированную систему. Покажем, как построить вектор 
Обозначим
и положим
Очевидно, 
так что 
Поэтому слстема 
является сртонормированной. Таким образом, процесс построения последовательности (2.2) указан.
В процессе ортогонализации последовательности (2.1) неявно предполагалось, что векторы 
определенные равенством (2.3), отличны 
нуля, иначе 
в равенстве (2.4) не имело бы смысла.
Докажем, что 
Одновременно покажем, что каждый вектор 
построенной последовательности (2.2) являетск линейной комбинацией векторов 
Доказательство проведем индукцией по числу 
При 
это очевидно. Пусть утверждение уже доказано для 
Докажем его для 
Подставляя в равенство
выражение (2.5), получим
где 
некоторые вещественные числа. Ввиду линейной независимости векторов 
отсюда следует, что 
Далее, так как в силу 
из (2.6) следует (2.5) при 
Утверждение доказано.
Из (2.3) и (2.4) следует также, что каждый вектор 
есть линейная комбинация векторов 
Из определения линейной оболочки конечной и бесконечной последовательности векторов 
и из равенства (2.5) и (2.7) заключаем:
1) для каждого числа 
линейные оболочки систем 
совпадают;
2) линейные оболочки последовательностей (2.1) и (2.2) совпадают.
