2. Случай ациклического графа.

Исследование балансных неравенств ациклического графа позволяет получить ряд важных выводов о поведении решений соответствующей системы дифференциальных уравнений

Мы предполагаем, что функции удовлетворяют условию Ради некоторого удобства формулировок мы считаем (ср. 1.2.1)).

Теорема. Пусть (2.1) есть система уравнений на ациклическом графе. Тогда:

1) решение задачи (2.1) определено на полуоси и ограничено независимо от функций

2) не существует неотрицательного периодического решения системы (2.1);

3) решение задачи (2.1) имеет предел при

являющийся точкой равновесия системы (2.1);

4) любая неотрицательная точка равновесия системы (2.1) является решением системы уравнений

5) существует константа не зависящая от такая, что для решения задачи (2.1) имеет место

Доказательство. Пусть положительные числа, удовлетворяющие неравенствам (2.6.6), т. е.

Рассмотрим функцию

Вдоль решения системы (2.1) имеет место

в силу (2.5) и неравенств Из (2.7) вытекает априорная оценка

из которого следует первое утверждение теоремы.

Вдоль непостоянного решения системы (2.1) неравенство (2.7) строгое ввиду того, что хотя бы при одном в каждой точке (если в некоторой точке о, то из (2.1) следует Отсюда следует второе утверждение теоремы, так как если непостоянное периодическое решение периода то что невозможно.

Вдоль решения задачи (2.1) функция убывает и ограничена снизу Следовательно, существует предел

Отсюда и из (2.7) вследствие вытекает существование интегралов

Но в силу (2.1)

Следовательно, имеет место (2.2), причем и является точкой равновесия системы (2.1). Этим доказано третье утверждение.

Если точка равновесия (неотрицательная), то из (2.7) получаем

Ввиду отсюда следует, что и является решением системы (2.3), т. е. доказано четвертое утверждение.

Рассмотрим матрицу (2.6.5) неотрицательных решений балансных неравенств (2.6.2) ациклического графа и положим

где — столбец-решение задачи (2.1). Компоненты вектора являются невозрастающими функциями и поэтому

Матрица обратима и из (2.8) следует

Отсюда и из (2.9) немедленно вытекает оценка (2.4) с некоторой константой не зависящей от функций Теорема доказана.

Следует отметить, что доказательство утверждений основывалось лишь на существовании положительного решения системы неравенств (2.5), что справедливо не только для ациклических графов. Тем самым утверждения остаются справедливыми для более широкого класса систем вида (2.1), для которых система (2.5) имеет положительное решение.

Пример II п. 1, в котором граф является, очевидно, ациклическим, показывает неединственность стационарной точки системы (2.1) (решения системы (2.3)), даже если рассматривать эти решения в плоскости материальных балансов, т. е. решать систему (2.3) совместно с уравнениями материального баланса:

где являются линейно-независимыми решениями балансных уравнений (2.5.3); ранг матрицы