§ 4. ЗАДАЧА КОШИ

1. Обобщенное решение. Единственность.

Кроме рассмотренной выше граничной задачи, для параболические уравнений характерно и другое задание дополнительных условий, так называемая задача Коши, когда уравнение рассматривается во всем пространстве при одном лишь начальном условии. Для простоты мы будем рассматривать линейное уравнение следующего вида:

в полосе Здесь А — оператор Лапласа в Будем считать, что Задача Коши состоит в отыскании решения уравнения (1.1), удовлетворяющего начальному условию

некоторые заданные функции. Не желая ограничиваться лишь гладкими функциями (на практике они нередко бывают разрывными), мы снова будем трактовать решение задачи (1.1), (1.2) в некотором обобщенном смысле. Нужно отметить, что для задачи Коши существенным оказывается поведение функций при Для уравнения теплопроводности известно, например, что в классе функций растущих быстрее, чем решение задачи Коши неединственно. Поэтому обычно заранее делают оговорку о классах функций (ограниченные, суммируемые и т. д.), в которых ищется решение.

Рассмотрим следующую гладкую весовую функцию:

и через обозначим пространство функций, квадраты которых суммируемы с этим весом (по или ). При пространство содержит функции, экспоненциально растущие при при Очевидно, при возрастании сужается: при

Ниже мы предполагаем, что ограничена и измерима в полосе т. е.

при некотором

Аналогично определяются пространства как пространства функций, принадлежащих соответствующим вместе со своими производными первого порядка.

Положим так что

Пространство есть пространство функций заданных в полосе и принадлежащих пространству при любом

Аналогично пространству пространство не является нормированным. Сходимость в нем определяется как сходимость в

кажм пространстве Оно существенно шире, чем протранство и содержит функции, не суммируемые

Определение 1. Мы будем говорить, что функция след при равный и писать если

как и в случае пространств нужно отметить следующее, функция не имеет скачков в области (множество точек скачка имеет -мерную меру нуль), поэтому на каждой плоскости предельные значения снизу и сверху (при чти всюду в совпадают (и принадлежат Это позволяет итать, что определена при всех и при каждом принадлежит В этом смысле запись (1.5) корректна

Из вложения вытекает вложение при позволяет различные функции рассматривать в соответствующих пространствах при одном и том же (минимальном из Как и выше, с уравнением (1.1) мы будем язывать билинейный функционал

которын при имеет смысл для любой функции Определение 2. Функция (при некотором К) называется обобщенным решением уравнения (1.1) в области если для обой функции выполняется равенство

Очевидно, достаточно гладкое обобщенное решение при непрерывных функциях является решением уравнения (1.1) в обычном смысле.

Определение 3. Обобщенное решение в области называется решением задачи Коши (1.1), если в смысле определения 1

Теорема. При выполнении решение задачи Коши удовлетворяет неравенству

Доказательство. Читатель легко убедится, что

и что при Используя в учитывая обозначение (1.10) и соотношения:

из равенства (см.

имеем оценку

Ввиду произвольности с учетом (1.8) имеем

Отсюда в силу оценки (VI.1.3.4) имеем (1.9).

Следствие. Решение задачи Коши единственно. Разность любых двух решений является решением однородной задачи Коши которая согласно (1.9) равна нулю почти всюду в области

Из оценки (1.9) вытекает также непрерывная зависимость решения от начальной функции и правой части в метрике пространств