3. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Если существует аппроксимативный предел то этот предел единственный.

Доказательство. Пусть существуют два числа которым равен указанный предел, и пусть а Мы получим противоречие. Действительно, пусть для определенности столь малое число, что Тогда множества и

не имеют общих точек. Поэтому имеют место следующие соотношения:

Это противоречие доказывает теорему.

Теорема 2. Пусть в окрестности некоторой точки задана функция непрерывная в точке Пусть, далее, -функция, заданная в окрестности точки и существует аппроксимативный предел

Тогда имеет место равенство

причем указанный аппроксимативный предел существует.

Доказательство. Ввиду непрерывности функции в точке для любого числа существует такое что если Пусть

Тогда Так как есть точка -плотности множества то она является также точкой плотности множества Теорема доказана.

Как следствие из этой теоремы, взяв в качестве функции получим теоремы об аппроксимативном пределе суммы, произведения и частного, которые формулируются так же, как и теоремы об обычных пределах.

Установим теперь связь между аппроксимативными пределами по различным множествам. Пусть —множества из функция, заданная в некоторой окрестности точки

Теорема 3. Если а не является точкой разрежения множества А, то из существования аппроксимативного предела следует существование аппроксимативного предела и равенство этих пределов.

Доказательство. Обозначим Пусть

Тогда по условию

Обозначим через дополнение множества до пространства Тогда из (3.4)

Следовательно,

Таким образом, есть точка А плотности множества и поэтому Теорема доказана.

Непосредственным следствием этой теоремы является следующая теорема.

Теорема 4. Если не является точкой разрежения множества то из существования аппроксимативных пределов

следует, что эти пределы равны между собой.

Теорема 5. Если существуют аппроксимативные пределы и если эти пределы равны между собой, то существует

Доказательство. Пусть а — общая величина указанных пределов по множествам задается равенством (3.3) и дополнение множества Ее до пространства Тогда имеем

Теорема доказана.

Теорема 6. Если не является точкой разрежения множества есть точка -разрежения множества то из существования аппроксимативного предела следует существование аппроксимативного предела

Доказательство. Пусть задается равенством (3.3). Тогда

Теорема доказана.