2. Неоднородное уравнение.

Если вычесть из решения задачи только что построенное решение то получится, очевидно, решение задачи т. е. функция удовлетворяющая при любом и любой функции равенству (ср. (1.4))

и начальному условию

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению функции удовлетворяющей условиям (2.1), (2.2).

Функция при почти всех принадлежит и может быть разложена в ряд Фурье по системе собственных функций задачи (1.6) с нормировкой (1.10):

Будем искать решение задачи т. е. задачи (2.1), (2.2) в виде ряда

где коэффициенты подлежат определению из условий (2.1), (2.2) и принадлежности как и каждого слагаемого (2.4), пространству

Из равенства Парсеваля и условия (2.2) имеем

Следовательно,

Подставляя (2.4) в (2.1) при учитывая (1.7) и ортогональность системы будем иметь

Согласно (1.7), (2.4)

где собственное значение задачи (1.6), отвечающее В силу произвольности из (2.7) следует

откуда с учетом (2.6) имеем

Легко видеть, что ряд (2.4) с коэффициентами (2.9) формально удовлетворяет соотношениям (2.1), (2.2) при произвольном Чтобы завершить построение решения задачи остается показать, что этот ряд сходится в пространстве и имеет место (2.6).

При любом согласно неравенству Коши — Буняковского

С учетом и последнего соотношения (2.3), полагая

0), из (2.10) имеем

Отсюда следует, что ряд (2.4) равномерно по сходится в и имеет место (2.5), т. е. удовлетворяет условию (2.2) и имеет ограниченную по норму в Для из (2.10) имеём

Ввиду лишь конечное число может иметь неположительное значение, поэтому сходится ряд

Ввиду оценок (см. (1.14)),

и сходимости ряда (2.11) ряд (2.4) сходится в и имеет нулевой след на множестве (см. (1.2.5)), т. е. сходится в пространстве значит, в

Ряд (2.4) с коэффициентами (2.8) оказывается искомым решением задачи Как уже отмечалось, решение задачи есть сумма решений Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Единственное обобщенное решение граничной задачи

в цилиндрической области при выполнении условия сильной эллиптичности (1.2) и ограниченности коэффициентов определяется формулой

Здесь ортонормированная в система собственных функций, соответствующая система собственных значений задачи (1.6).

Следствие. Если вместе с пространству принадлежат ее обобщенные частные производные по до порядка то формула (2.13) допускает дифференцирование по до порядка включительно. При этом производная принадлежит пространству и удовлетворяет соотношению (ср. (2.1))

Конечно, эти производные могут не иметь следа при

Основываясь на свойствах коэффициентов (2.9), читатель легко проверит это утверждение самостоятельно.

Мы предполагали коэффициенты не зависящими от Что касается то мы и впредь считаем их такими. Случай же не требует особого рассмотрения, поскольку является частным случаем рассматриваемого ниже квазилинейного уравнения.