Так, если для скалярного уравнения (3.3) удается построить функции 
удовлетворяющие условиям следствия 2 в каждом интервале 
то для решения 
согласно (3.5) имеет место априорная оценка (4.1) с константой
и, следовательно, решение 
существует в целом. Приведем некоторые примеры априорных оценок для систем уравнений.
1) Пусть система уравнений имеет вид
где х — вектор-столбец, 
-неположительная матрица Это значит, что квадратичная форма 
при любом векторе 
и любых значениях 
их. Для 
где 
— решение системы (42), имеем 
2) Пусть теперь матрица 
в системе (4.2) лишь ограничена сверху, 
существует константа С такая, что в каждой точке 
при любом 
Тогда вместо (4 3) получим
т. е. скалярное дифференциальное неравенство относительно 
где 
Согласно (3.4) имеем оценку
3) Пусть система уравнений имеет вид
где матрица 
и вектор 
равномерно по 
удовлетворяют неравенствам
с некоторой константой 
Ввиду простого неравенства
для решения 
системы (4.4) с учетом (4 5) получаем линейное дифференциальное неравенство относительно 
откуда согласно (3.4) при 
Наличие априорной оценки гарантирует, таким образом, существование решения. Это, как увидим ниже, относится и к уравнениям в частных производных, чем и объясняется важная роль априорных оценок, особенно при исследовании нелинейных уравнений.
системы (1.2) существует лишь в конечном интервале при 
говорят о локальной разрешимости системы (1.2) с начальным условием 
при 
Если же 
определено при всех 
то говорят о нелокальной разрешимости или разрешимости в целом. Часто бывает важно установить нелокальную разрешимость задачи Коши, не зная самого решения. Согласно замечанию I п. 2 о продолжении решения нелокальная разрешимость имеет место, если на любом конечном интервале 
удается установить сценку:
то решение 
не только существует в целом, но и ограничено константой К. Оценку вида (4.1) неизвестного решения через заданные величины называют априорной.
