§ 6. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЙ

Эллиптические граничные задачи обладают свойством монотонности, которое, грубо говоря, состоит в том, что чем больше правые части уравнений и граничных условий, тем больше решение. Это свойство играет важную роль при исследовании свойств решений и для получения их оценок. Ввиду линейности граничных задач указанное свойство монотонности эквивалентно положительности решений при положительности правых частей.

1. Об одном свойстве билинейных функционалов в пространстве BV2.

Рассмотрим билинейный функционал задаваемый равенством (2.1.3). При этом мы не будем в этом пункте предполагать, что выполняется условие эллиптичности. Таким образом, — произвольные ограниченные измеримые функции в области а - произвольная ограниченная измеримая по мере функция на Введем обозначения:

так что

Теорема. Если функция принадлежит пространству то и принадлежат этому пространству, и имеет место равенство

Доказательству теоремы предпошлем лемму.

Лемма. Пусть Тогда и для любой функции имеет место равенство

где

Доказательство Пусть сначала финитная в гладкая функция, имеет конечный периметр. Тогда по формуле интегрирования по частям

где — существенная граница множества — след функции и на ясно, что на Действительно, в некоторой граничной полоске области функция Во внутренних точках области имеем почти всюду на где -внешний след функции на Совпадение внутреннего и внешнего следа имеет место, так как и в и поэтому не имеет точек скачка. Но ясно, что Следовательно, Итак, доказано, что на Поэтому из равенства (1.4) получаем

Теперь мы избавимся от предположения, что имеет конечный периметр. Обозначим при

Предположим сначала, что выбрано так, что имеет конечный периметр Тогда из (1.5) имеем

Зададим последовательность такую, что монотонно убывая, стремится к нулю, а множества имеют конечные периметры. Обозначим через характеристическую функцию множества а через — характеристическую функцию множества Ясно, что

в каждой точке Мы можем записать (1 6) в виде

На основании (1.7) мы можем перейти к пределу при и получим (1 5) уже без предположения о конечности периметра множества Равенство (1 5) можно записать также в виде

Так как функция суммируема в квадрате в то правая часть (1 8) представляет собой линейный ограниченный функционал в определенный на функциях По теореме об общем виде линейных ограниченных функционалов мы получаем, что существует такая функция что

По определению обобщенной производной

Итак, мы установили, что суммируема в квадрате в области Равенство (1.8) можно записать в виде

Учитывая, что любая функция есть предел сходящейся по норме последовательности финитных гладких функций, предельным переходом получаем (13) для любой функции

Для полного доказательства леммы остается только показать, Так то по доказанному причем в качестве можно взять любое из чисел Следовательно, То, что очевидно, следует из того, что Принадлежность к следует из того, что Итак, доказано, что На основании (11) получаем, что принадлежат к Лемма доказана

Доказательство теоремы. Применим полученный в лемме результат к функции Так как что непосредственно видно из (1.1), то из (1.3) имеем

Рассмотрим функционал

Пользуясь равенством (1.10), мы можем записать

Это можно записать также в виде

Воспользуемся равенством (1.3)

Так как — то мы имеем

Отсюда и из (1.11) следует

Ввиду симметричности функционала из (1.12) получаем также

Для остальных слагаемых, входящих в функционал доказательство аналогично или даже еще проще, если в слагаемых отсутствуют производные. При этом нужно иметь в виду при рассмотрении интеграла по что можно переходить к аппроксимативному пределу под знаком абсолютной величины, и, следовательно, Теорема доказана.