4. Формула Грина.

Мы получим здесь формулу Грина, вернее, варианты этой формулы для множеств с конечным периметром и функций, принадлежащих Заметим, что существование различных вариантов этой формулы связано с разрывностью функции, точнее, наличием точек скачка. Если у функции отсутствуют точки скачка (с точностью до значений на множестве -мерной меры нуль), то формулы (4.2) и (4.6) совпадают. Это, в частности, имеет место для функций, обобщенные производные которых суммируемы.

Пречварителыю докажем следующую лемму.

Лемма. Если функция задана в финитна и принадлежит пространству то

(интегрирование распространяется по всему пространству).

Доказательство. Так как функция и финитна, то она обращается в нуль на множестве при достаточно большом Пусть -гладкая финитная функция, равная единице в шаре Тогда ясно, что

Отсюда в силу определения обобщенной производной

Последнее равенство следует из того, что при при Лемма доказана.

Перейдем к выводу формулы Грина. Мы будем предполагать во всех следующих утверждениях, что ограниченное множество с конечным периметром, а функция, заданная в и принадлежащая пространству Как и выше, 5 будет обозначать существенную границу множества

Теорема 1. Пусть внутренний след функции и на суммируем по мере Тогда имеет место формула

где - множество точек плотности множества внешняя нормаль к 5.

Доказательство. Проинтегрируем левую и правую части равенства (3.3) по всему пространству На основании леммы интеграл от левой части равен нулю, и мы получим

Так как мера сосредоточена на то первый интеграл в (4.3) можно брать по множеству Для того чтобы получить (4.2) из (4 3), достаточно воспользоваться связью между мерами VX и заданной равенством (1.5). Теорема доказана.

Георема 2. Пусть В — измеримое по мере множество, принадлежащее существенной границе Тогда имеет место формула

где и - внутренний и внешний следы функции и на внешняя нормаль к

Доказательство аналогично предыдущему с использованием формулы (3.5).

Теорема 3. Пусть существенная граница представляется как объединение двух измеримых по -мерной мере непересекающихся множеств

Тогда если внутренний след на и внешний след на суммируемы по мере то имеет место формула

Доказательство. Так как функция и суммируема на 5 по мере то функция суммируема на Следовательно, функция суммируема на и поэтому имеет место формула (4.2). Полагая в и складывая с (4.2), получим (4.6). Теорема доказана.