8. Полные пространства.

Прежде чем давать точное определение полноты пространства, сделаем некоторые пояснения. Рассмотрим пространство полиномов, заданных на отрезке [0, 1], снабженное нормой пространства С. Рассмотрим далее последовательность полиномов равномерно сходящуюся к функции е1, не являющейся, очевидно, полиномом. Мы видим, что для того чтобы последовательность оказалась сходящейся, в пространстве уже не хватило элементов. Пришлось выйти в более широкое пространство С. В этом смысле пространство является неполным. Однако для того чтобы обнаружить этот факт, пришлось привлечь элемент более широкого пространства С. В общем случае такое более широкое пространство может быть неизвестным, и поэтому словие полноты должно формулироваться в терминах исходного пространства. С этой целью гводится понятие фундаментальной последовательности.

Дадим точные определения.

Определение 1. Последовательность в нормированном пространстве В называется фундаментальной, если для любого числа существует такой помер что при всех

Теорема. Сходящаяся последовательность в нормированном пространстве является фундаментальной.

I Доказательство. Пусть последовательность сходится к элементу Тогда для любого числа существует номер такой, что при Для любых в силу неравенства треугольника имеем

откуда следует, что последовательность — фундаментальная. Теорема доказана.

Обратное утверждение: всякая фундаментальная последовательность является сходящейся — неверно. Чтобы это показать, вернемся к примеру, рассмотренному в начале этого пункта. Последовательность сходится в С и поэтому является фундаментальной в С. Ко так как в пространствах введены одинаковые нормы, то последовательность является также фундаментальной и в пространстве Но эта последовательность не является сходящейся в пространстве Итак, мы показали, что существуют фундаментальные последовательности, не являющиеся сходящимися. Кроме того, с помощью понятия фундаментальной последовательности мы описали в терминах самого пространства тот факт, который в начале этого пункта был описаи с привлечением элемешов более широкого пространства. Интуитивно понимаемое отсутствие полноты пространства выражено с помощью следующего утверждения: нашлась фундаментальная последовательность, которая не является сходящейся в пространстве

Определение 2. Нормированное пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность в нем является сходящейся.

Докажем, что каждое подпространство полного нормированного пространства является полным пространством. Действительно, пусть В — полное нормированное пространство, его подпространство и фундаментальная последовательность в Тогда есть фундаментальная последовательность в , и поэтому она сходится к гекоторому элементу В силу замкнутости множества элемент принадлежит ему, откуда следует полнота пространства доказать, что каждое нормированное пространство может быть дополнено до полного. Мы, однако, этим заниматься не будем.

Полное бесконечномерное нормированное пространство называется банаховым пространством по имени Банаха. Полные бесконечномерные евклидовы пространства называются гильбертовыми пространствами по имени Гильберта.