РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ МЕРЫ

В этом разделе излагаются основы функционального анализа, теории меры и интеграла в том объеме, который необходим для понимания следующих разделов книги.

Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. МНОЖЕСТВА

В этом параграфе будут приведены некоторые сведения из теории множеств, необходимые для дальнейшего.

1. Основные определения.

Понятие множества является весьма общим. Под множеством понимают совокупность объектов той или иной природы. Например, множество всех целых чисел, множество всех точек прямой, множество всех кругов на плоскости. Большое число различных примеров множеств встретится на протяжении этого курса.

Мы будем использовать следующие обозначения. Утверждение, что х является элементом множества «будет обозначаться Будем говорить также: принадлежит множеству . Утверждение, что х не принадлежит множеству или х не является элементом множества А, будет обозначаться Элементы множества иногда называют точками этого множества.

Если все элементы множества А являются элементами множества В, то А называют подмножеством множества В, что обозначается или . Например, пусть А — множество всех целых чисел, В — множество всех рациональных чисел. Тогда

Пусть даны два множества Если и то множества называются равными; в этом случае пишут

Во многих вопросах удобно рассматривать множество, не содержащее ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается 0.