2. Критерии устойчивости.

Определение. Мы скажем, что ограниченное решение задачи (1.1) отделимо, если существуют

функции и положительное число такие, что

каковы бы ни были и неотрицательная функция

Здесь и ниже

Условия (2.1), (2.2) означают, что являются верхней и нижней функциями задачи (1.1) в строгом смысле при любом

Функции и будем называть отделяющими. С оператором и некоторым решением задачи (1.1) обычно связывают линейный дифференциальный оператор называемый оператором в вариациях. При исследовании устойчивости часто пользуются следующим определением.

Решение задачи (1.1) называют устойчивым, если наименьшее собственное значение задачи

положительно.

Корректность такого определения следует из принятого нами более естественного понятия устойчивости. Отделимость решения также, оказывается, эквивалентна устойчивости.

Теорема. Пусть непрерывна и ограниченное решение задачи (1.1). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) наименьшее собственное значение задачи (2.3) положительно;

2) решение отделимо;

3) решение устойчиво.

Доказательство. Пусть соответствующая собственная функция задачи (2.3). Пусть Ввиду непрерывности можно так пронормировать (выбрать положительный множитель) функцию чтобы

равномерно Тогда при имеем

и аналогично

т. e. отделимо. Таким образом, из 1) следует 2).

Пусть теперь отделимо. Положим в неравенствах (2.1), и рассмотрим функции:

Неравенства (2.1), (2.2) означают, что функции (2.4) являются верхней и нижней функциями задачи (1.2) при любом начальном условии вида

Отсюда следует, что при для решения задачи (1.2), (1.3) имеет место (1.4), т. е. устойчиво. Таким образом, из 2) следует 3).

Осталось показать, что из 3) следует 1). Пусть устойчиво, т. е. для некоторых решение задачи (1.2), (1.3) удовлетворяет условию (1.4). Линейная краевая задача

разрешима при (см. следствие Покажем, что для ее решения имеет место оценка

Первое неравенство очевидно, поскольку нижняя функция задачи (2.6). Функция

является обобщенным решением задачи

где коэффициент

ввиду (1.4) и непрерывности равномерно удовлетворяет оценке

Из (2.6) и (2.8) для имеем

и те же однородные граничные условия. Поэтому если

то на основании того же следствия имеем с учетом (2.9)

Отсюда следует, что

причем одновременно доказано существование Оценка (2.7) следует теперь из оценки (1.4) для

С другой стороны, решая задачу (2.6) методом Фурье, имеем

где - полный набор собственных значений и ортогональных собственных функций задачи (2.3), подчиненный нормировке

При этом Из (2.10) и оценки (2.7) имеем

Откуда и следует Теорема доказана полностью.