§ 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
Среди всех решений эллиптического уравнения
где 
задается равенством (1.1.6), может быть особо выделено решение, которое называется фундаментальным и с помощью которого могут быть выражены все другие решения. Наиболее просто строятся фундаментальные решения уравнения Лапласа. В настоящее время они построены для очень общих систем уравнений, в частности и для уравнения (1) в предположении некоторой гладкости коэффициентов. Проведение таких построений выходит за рамки этой книги. Мы ограничимся построением фундаментального решения для уравнения Лапласа. Все общие свойства фундаментальных решений для эллиптических уравнений достаточно хорошо видны уже в этом случае.
1. Оператор Лапласа на сферически-симметричных функциях.
Пусть 
некоторая фиксированная точка пространства 
Обозначим 
и будем рассматривать функции точки х, зависящие только от 
т. е. принимающие постоянные значения на сфере
для любого положительного числа а. Такие функции будем называть сферически-симметричными.
Будем рассматривать оператор Лапласа
и поставим вопрос, какой вид имеет этот оператор на сферически-симметричных функциях. Пусть 
— такая функция. По формуле дифференцирования сложной функции имеем
где 
Далее,
Складывая 
будем иметь
или
Это можно записать также в виде
