РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВАХ BV

Классическое дифференциальное исчисление имеет дело с непрерывными функциями. Введение понятия обобщенных функций и обобщенных производных дало возможность дифференцировать более широкие классы функций, в том числе разрывные. Однако существенное расширение класса функций, дав выигрыш в возможности дифференцирования, сузило другие возможности в операциях над функциями. Например, обобщенные функции нельзя перемножать. Поэтому если бы мы хотели перенести, например, обычную формулу дифференцирования произведения

на разрывные функции, нам прежде всего следовало бы ответить на вопрос, как понимать произведение, стоящее в правой части. Аналогичный вопрос возникает, конечно, и вообще при дифференцировании суперпозиции функций.

Таким образом, требуется выделить такой класс функций, который содержал бы разрывные функции и обобщенные производные которых допускали бы умножение на функции этого класса. Оказывается, что такой класс образуют функции, производные которых являются мерами (класс, или пространство,

В классе естественно рассматриваются и другие вопросы анализа. Хорошо известно, сколь важна в анализе и его приложениях формула Грина

где некоторая область -мерного пространства, его граница, проекция единичного вектора нормали к на ось К этой формуле мы прибегаем, например, при выводе основных уравнений математической физики. Если функция и разрывна и в левой части равенства (2) стоит ее обобщенная производная, то левая часть имеет смысл только в том случае, когда эта производная является мерой.

Заметим, что формулы (1) и (2) в том виде, как они записаны, неверпы для разрывных функций. Изучение структуры функций, принадлежащих пространству дает возможность правильно записать и обосновать эти и более общие формулы.

Так как класс содержит разрывные функции, то, в частности, он содержит и характеристические функции некоторых множеств. Тем самым выделяется класс множеств, именно таких, характеристические функции которых принадлежат Такие множества называются множествами с конечным периметром. Оказывается, что этот класс весьма широк. В него входят, в частности, все множества (принадлежащие пространству граница которых имеет конечную -мерную меру, так что никаких условий гладкости границы не требуется. Эти множества замечательны тем, что, несмотря на отсутствие гладкости

границы для них записывается формула Грина и могут быть поставлены граничные задачи для уравнений математической физики (что будет сделано в следующем разделе).

В этом разделе излагается теория функций, обобщенные производные которых являются мерами, и изучается структура этих функций. Полученные результаты применяются затем к построению анализа в классе разрывных функций: выводу формулы дифференцирования суперпозиции, обобщению формулы Грина, изучению разрывных аналитических функций и т. д.

Эти результаты используются затем для построения функциональных пространств. Здесь вводится пространство пространство функций из первые обобщенные производные которых суммируемы в квадрате в области и след которых суммируем в квадрате на границе этой области (мы ограничились здесь только такими пространствами, хотя можно было бы рассматривать и суммируемость с другими степенями). Пространство играет существенную роль при изучении граничных задач (раздел III) для уравнений математической физики, поставленных для областей с конечным периметром.

В качестве иллюстрации непосредственного применения развитого здесь аппарата приводится вывод физических законов сохранения — законов сохранения массы и энергии — в классах В частности, получаются различные виды уравнений гидродинамики, записанные для разрывных функций. Показано, что и в классах разрывных функций возможна недивергентная запись таких уравнений. Она вполне аналогична известной записи уравнений для гладких функций с тем отличием, что физические величины должны быть взяты либо как средние по объему, либо как средние по массе в зависимости от формы записи уравнения.

Как уже указывалось, построенный в этом разделе аппарат имеет различные приложения к уравнениям математической физики. В следующем разделе он будет использован в теории граничных задач для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического и параболического типов. Ввиду ограниченности объема книги мы не включили приложений к гиперболическим уравнениям (для случая нелинейных уравнений первого порядка с ними можно познакомиться в статье [12]). Нелинейные гиперболические уравнения характерны тем, что даже при гладких начальных условиях появляются разрывные решения: начальные условия переносятся по характеристикам и при пересечении характеристик образуются разрывы решений. Изложенное в этом разделе исследование по структуре многообразия разрывов создает удобный аппарат для исследования подобного рода разрывных решений, принадлежащих пространству

Ввиду ограниченности объема книги мы не могли привести все результаты по теории функций, обобщенные производные которых являются мерами, с полными доказательствами. Читатель, интересующийся этими вопросами, может найти опущенные доказательства в статьях, цитированных в тексте. Однако и в приведенном здесь виде эта теория вполне достаточна для понимания ее приложений.