4. Обратимые реакции. Выход на стационарный режим.

Ниже всюду предполагается, что для системы (3.3) выполнено условие А. Важную роль при качественном исследовании системы (3 3) играет функция

определенная и непрерывно дифференцируемая в области

Будем считать функцию продолженной по непрерывности и на границу области Предполагается, что параметры образуют некоторое решение системы (3.5).

Функция ограничена снизу и достигает абсолютного минимума внутри области (4.2) в точке детального равновесия и:

Очевидно также, что неограниченно возрастает, когда хотя бы одна из компонент стремится к и что множества вида

являются ограниченными множествами в

Функция имеет смысл свободной энергии системы. Она была использована Зельдовичем [18] при доказательстве единственности, точки детального равновесия (ср. п. 3). Как будет показано ниже, важным свойством этой функции является то, что она оказывается нелокальной функцией Ляпунова для системы (3.3).

Лемма. Вдоль положительного решения системы (3.3)

Вдоль неотрицательного решения для каждого либо либо при При этом для любых из области определения

где 2 обозначает суммирование лишь по тем для которых Вдоль непостоянного решения системы (3.3)

Доказательство. Пусть решение положительно при С учетом (3.2), (3.5) имеем

Поскольку при то (4.3) доказано Пусть -неотрицательное решение системы (3.3) в некотором интервале Тогда решение и с начальным условием положительно и при каждом

причем равномерно по в любом интервале Из (4.3) для имеем

Здесь Допустим, что второе утверждение леммы неверно, и пусть для определенности при некоторых и

Согласно п. 2.3 эти соотношения имеют место при всех причем равномерно по Но отсюда следует, что правая часть в (4.6) стремится к при в то время как левая часть ограничена. Таким образом, (4.7) невозможно. Отбрасывая в (4.6) те слагаемые, в которых и переходя затем к пределу при получим (4.4) для и по непрерывности для

Для доказательства (4.5) заметим, что из равенства при и (4.3) или (4.4) следует при всех Но тогда из (3.3) следует Лемма доказана.

Из этой леммы вытекают важные качественные результаты для системы (3.3) при выполнении условия А.

Теорема: 1) решение системы (3.3) при любом неотрицательном начальном условии

существует и ограничено при ее (

2) не существует непостоянного неотрицательного периодического решения системы (3.3);

3) любая точка равновесия системы (3.3) есть точка детального равновесия;

4) — предельное множество решения задачи (3.3), (4.8) состоит либо из неотрицательных точек детального равновесия, либо из единственной положительной точки детального равновесия;

5) положительная точка детального равновесия устойчива, а в инвариантной плоскости асимптотически устойчива.

Доказательство. 1. В силу леммы для решения задачи (3.3), (4.8) имеем априорную оценку

Отсюда и из неотрицательности следуют существование и ограниченность решения при всех Отметим, что при этом не требуется существование положительного материального баланса.

2. Пусть периодическое неотрицательное решение минимального периода Тогда значит,

но это противоречит (4.5).

3. Для любого решения (точка равновесия) из леммы следует Это и значит, что точка равновесия есть точка детального равновесия.

4. Так как вдоль неотрицательного решения функция не возрастает и ограничена снизу, то существует

Отсюда для — предельного множества (см. - следует включение

Как известно (см. п. VI.3.1), ?2 состоит из целых траекторий системы (3.3), а так как вдоль непостоянного решения не остается постоянной (см. (4.5)), то содержит только точки равновесия и, следовательно, точки детального равновесия.

Предположим, что содержит положительную точку и. Вместе со всей траекторией точка и лежит в инвариантной плоскости По теореме п. 3 и — единственная положительная точка в В силу связности не содержит в этом случае и других неотрицательных точек.

5. Пусть — положительная точка детального равновесия. В выражении (см. (4.1)) можно положить так что и будет точкой абсолютного минимума функции Пусть где — граница области (см. (4.2)). Рассмотрим множества

Очевидно, и если то Дпри всех 0. Это и означает устойчивость и ввиду произвольной близости с к

Далее, в силу уже доказанного утверждения 4) существует и является положительной точкой детального равновесия из при Поэтому при в силу теоремы п. 3 имеет место

т. е. асимптотическая устойчивость и в плоскости (см. Теорема доказана.

Заметим, что в рассматриваемом случае обратимых реакций граф содержит циклы: каждая -вершина входит в некоторый цикл. Тем не менее периодических решений не возникает. Доказанная теорема вместе с теоремой п. 3 играет важную роль при построении в последнем параграфе асимптотики по большим константам скоростей реакций.

Надо отметить, что для полного исследования вопроса о поведении при решения системы (3.3) достаточно ограничиться исследованием положительных решений. Если в системе (3.3) оставить лишь уравнения с номерами ненулевых компонент неотрицательного решения этих уравнениях вычеркнуть члены, где то получается замкнутая система и ненулевые компоненты образуют положительное решение этой системы. Нетрудно понять, что эта система уравнений также отвечает некоторой схеме вида (3.1) и для нее выполнено условие А.