§ 6. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Мы будем рассматривать в этом параграфе операторы 
(нелинейные), действующие в банаховом пространстве 
Многие уравнения, встречающиеся в различных задачах, в том числе в задачах математической физики, удобно записывать с помощью операторов и гзучать общие подходы к решению таких уравнений, используя
теорию операторов. Здесь будет изложен важный метод решения уравнений — метод последовательных приближений.
1. Неподвижные точки.
Пусть оператор 
переводит свою область определения 
в себя. Это значит, что если 
то 
Рассмотрим уравнение
Решение этого уравнения называется неподвижной точкой оператора А.
К нахождению неподвижной точки оператора могут быть сведены различные уравнения. Приведем некоторые примеры. Примеры 1. Рассмотрим уравнение
где 
есть вещественная функция вещественной переменной х. Положим
где 
-некоторое число, отличное от нуля. Тогда уравнение (1.2) эквивалентно уравнению
2. Рассмотрим систему уравнений
Введем вектор-функцию
где обозначено 
Рассмотрим в пространстве 
оператор
где X — число, отличное от пуля Тогда система уравнений (1.3) эквивалентна уравнению (1.1)
3. Рассмотрим интегральное уравнение
где в отношении интегрального оператора мы сохраним предположения, сделанные в п. 1.2 (пример 2). Считая, что 
мы обозначим через 
оператор, стоящий в правой части равенства (14), и будем его рассматривать как оператор, действующий в пространстве 
Тогда уравнение (1 4) запишется в виде (1.1).
