Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Мы будем рассматривать в этом параграфе операторы (нелинейные), действующие в банаховом пространстве Многие уравнения, встречающиеся в различных задачах, в том числе в задачах математической физики, удобно записывать с помощью операторов и гзучать общие подходы к решению таких уравнений, используя

теорию операторов. Здесь будет изложен важный метод решения уравнений — метод последовательных приближений.

1. Неподвижные точки.

Пусть оператор переводит свою область определения в себя. Это значит, что если то Рассмотрим уравнение

Решение этого уравнения называется неподвижной точкой оператора А.

К нахождению неподвижной точки оператора могут быть сведены различные уравнения. Приведем некоторые примеры. Примеры 1. Рассмотрим уравнение

где есть вещественная функция вещественной переменной х. Положим

где -некоторое число, отличное от нуля. Тогда уравнение (1.2) эквивалентно уравнению

2. Рассмотрим систему уравнений

Введем вектор-функцию

где обозначено

Рассмотрим в пространстве оператор

где X — число, отличное от пуля Тогда система уравнений (1.3) эквивалентна уравнению (1.1)

3. Рассмотрим интегральное уравнение

где в отношении интегрального оператора мы сохраним предположения, сделанные в п. 1.2 (пример 2). Считая, что мы обозначим через оператор, стоящий в правой части равенства (14), и будем его рассматривать как оператор, действующий в пространстве Тогда уравнение (1 4) запишется в виде (1.1).

1
Оглавление
email@scask.ru