§ 8. УРАВНЕНИЯ С ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫМ ОПЕРАТОРОМ

Мы докажем, что если вполне непрерывный оператор, действующий в гильбертовом пространстве, то является фредгольмовским оператором, и, следовательно, для уравнения

справедливы теоремы Фредгольма.

Сначала мы покажем, что это имеет место для операторов, близких к конечномерным.

1. Операторы, близкие к конечномерным.

Теорема. Пусть К — линейный ограниченный оператор, действующий в евклидовом пространстве Если существует конечномерный оператор действующий в такой, что

то оператор является фредгольмовским.

Доказательство. Обозначим так что

и

Для доказательства теоремы достаточно доказать, что оператор В имеет обратный. Но уравнение можно записать в виде

В силу (1.1) это уравнение однозначно разрешимо при любой правой части на основании принципа сжатых отображений (см. п. III.6.4). Теорема доказана.

2. Вполне непрерывные операторы.

Мы покажем сейчас, что вполне непрерывные операторы являются операторами, близкими к конечномерным. Точнее, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть вполне непрерывный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Тогда существует последовательность конечномерных операторов действующих в такая, что

Доказательство. Оператор есть самосопряженный вполне непрерывный оператор, действующий в Согласно теореме существует ортонормированная последовательность элементов пространства такая, что каждый элемент может быть представлен в виде

причем

где вещественные числа, и

Из равенства (2.3) получаем

Из (2.4) следует, что

Действительно, Равенство (2.2) с учетом (2.6) дает

Обозначим Последовательность ортонормирована. Действительно, при имеем в силу (2.3)

Далее, из (2.5) получаем

Рассмотрим конечномерные операторы:

Покажем, что имеет место равенство (2.1). Предположим, что это не так. Тогда существует такое число что

при бесконечном множестве значений Так как

то для каждого из этих существует такой вектор что

Воспользуемся полной непрерывностью оператора Существует такая последовательность что

Имеем

Заметим, что есть первые членов разложения в ряд Фурье по ортонормированной последовательности Обозначим через подпространство в X, которое является замыканием линейной оболочки векторов В силу равенства (2.7) вектор принадлежит А так как замкнуто, то этому подпространству принадлежит также элемент у, входящий в (2.10). В силу сходимости рядов Фурье имеем

Кроме того, на основании равенства Парсеваля можно записать

Подставив это в (2.11) и воспользовавшись (2.10) и (2.12), получим

но это противоречит неравенству (2.9). Итак, предположение, что (2.1) не имеет места, привело к противоречию. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть вполне непрерывный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Тогда для уравнения

имеют место теоремы Фредгольма.

Доказательство. На основании теоремы 1 существует такое число что

Следовательно, удовлетворяет условию теоремы п. является фредгольмовским оператором. Теорема доказана.