3. Анализ осредненного уравнения.

В (2.6) удобно ввести

после чего получаем

Можно показать, что если решение этой задачи существует, то при Умножая (3.2) на и интегрируя с учетом этого условия, получим

Отсюда следует, что необходимым условием существования решения является неотрицательность интеграла (3.3) при всех В частности, должно выполняться условие Для это условие не имеет места и возникает необходимость обычного в теории горения срезания функции в окрестности (в области низких температур). Мы будем предполагать, что

Как следует из (3.3), при для разрешимости задачи (3.1) необходимо, чтобы

Покажем, что при выполнении (3.4) условие (3.5) достаточно для разрешимости задачи (3.1). В самом деле, ввиду выпуклости имеем при значит,

Таким образом, функция — монотонно возрастает, и при

выполнении (3.5) имеем

Поэтому из (3.3) можно определить

и найти зависимость или, что то же, по формуле

Непосредственной проверкой легко убедиться, что эта зависимость определяет решение задачи (3.2).

Итак, условие (3.5) оказывается необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (3 2). Случай равенства в (3.5) определяет поэтому точное критическое условие в задаче (3.2):

Геометрически критическое условие означает равенство заштрихованных площадок (рис. 14).

Рис. 14

Очевидно, при решение (3.8) удовлетворяет условию Зельдовича: Это видно из (3.7), так как соответствует значению

Отметим, что формулой (3.8) задается минимальное решение задачи (3.2). Комбинируя знаки плюс и минус в выражении (3.7), легко построить другое решение (неустойчивое). При оба решения сливаются.