Сравнивая с равенством (2.1), получим
что и требовалось доказать.
2. Интегральные операторы. Пусть А — оператор, определенный равенством (1.2.6)
Рассмотрим интегральный оператор
ядро которого получается из ядра
оператора А перестановкой переменных
их. Мы будем применять обозначения и предположения, введенные в п. 1.2, в примере 2. Из неравенства (1.2.3) следует, что ядро оператора (2.2) суммируемо в квадрате по
Поэтому (см. п. 1.2) мы можем утверждать, что В есть ограниченный оператор» действующий в
Для любых х и у из
имеем
Для того чтобы оправдать перестановку порядка интегрирования, произведенную в равенстве (2.4), согласно теореме Фубини
достаточно проверить, что функция
суммируема на множестве
Но это следует из того, что функция
суммируема по
и теоремы
Из равенства (2.4) заключаем, что оператор (2.3) является сопряженным к оператору (2.2).