2. Примеры сопряженных операторов.

1. Матрицы. Пусть задана матрица размера элементы которой для простоты будем считать вещественными числами. В п. 1.2 показано, как по матрице А строится линейный оператор, действующий пространства в пространство Будем обозначать этот оператор той же буквой А. Обозначим, далее, скалярные произведения в соответственно. Тогда на основании равенства (1.2.1) для любого вектора получим

Рассмотрим матрицу А, транспонированную к матрице А (см. п. 1.7.4). Мы покажем, что транспонированная матрица определяет сопряженный оператор. Действительно, матрица А переводит вектор в вектор где

Поэтому

Сравнивая с равенством (2.1), получим

что и требовалось доказать.

2. Интегральные операторы. Пусть А — оператор, определенный равенством (1.2.6)

Рассмотрим интегральный оператор

ядро которого получается из ядра оператора А перестановкой переменных их. Мы будем применять обозначения и предположения, введенные в п. 1.2, в примере 2. Из неравенства (1.2.3) следует, что ядро оператора (2.2) суммируемо в квадрате по Поэтому (см. п. 1.2) мы можем утверждать, что В есть ограниченный оператор» действующий в Для любых х и у из имеем

Для того чтобы оправдать перестановку порядка интегрирования, произведенную в равенстве (2.4), согласно теореме Фубини достаточно проверить, что функция суммируема на множестве Но это следует из того, что функция суммируема по и теоремы

Из равенства (2.4) заключаем, что оператор (2.3) является сопряженным к оператору (2.2).