3. Примеры линейных пространств.

1. n-мерное координатное пространство Элементами этого пространства являются упорядоченные последовательности из чисел:

Сложение и умножение на число определяются равенствами:

нулевой элемент

Предоставляем читателю в качестве упражнения проверить выполнение всех аксиом 1) —7).

Пространство рассмотренное в п. 1, является частным случаем при Другим частным случаем, известным из аналитической геометрии, является трехмерное координатное пространство

2. Пространство ограниченных функций. Будем рассматривать множество всех ограниченных вещественных функций, заданных на некотором множестве При этом функция заданная на множестве X, называется ограниченной, если существует неотрицательная константа К такая, что для всех точек выполняется неравенство

Заметим, что при этом для различных функций константы К могут быть разными. Сложение и умножение функций на числа будут пониматься так, как это определено в п. 1.4. Ясно, что сумма двух ограниченных функций и произведение ограниченной функции на число есть также ограниченная функция. Введем нулевой элемент как функцию, равную нулю при всех Легко проверяется выполнение аксиом линейного пространства. Таким образом, множество всех ограниченных функций, заданных на множестве X, является линейным пространством.

3. Пространство полиномов. Элементами этого пространства являются полиномы где может принимать любые натуральные значения. Полиномы рассматриваются как функции, заданные на отрезке вещественной оси. Рассуждая, как в предыдущем примере, получим, что есть линейное пространство.

4. Пространство непрерывных функций, заданных на отрезке Выполнение всех аксиом линейного пространства легко проверяется.