5. Абсолютная непрерывность.
Определение. Мера 
называется абсолютно непрерывной относительно меры 
если для любого числа 
можно указать такое число 
что
для любого множества 
такого, что
Теорема. Для того чтобы мера К была абсолютно непрерывной относительно меры 
необходимо и достаточно, чтобы из равенства 
следовало 
Доказательство. Необходимость. Пусть 
абсолютно непрерывна относительно 
и пусть для некоторого множества 
Тогда из определения абсолютной непрерывности следует, что 
для любого 
Это значит, что 
Достаточность. Пусть из равенства 
следует, что 
Покажем, что 
абсолютно непрерывна относительно 
Предположим противное. Тогда найдется такое число 
что для любого натурального числа 
существует множество 
такое, что
Обозначим:
Так как 
то из (5.2) следует, что 
а так как 
образуют монотонно убывающую последовательность, сходящуюся к 
то
Далее, из (5.1) и (5.3), пользуясь свойством (3.9) полной вариации, получаем
Отсюда
Неравенства (5.4) и (5.5) противоречат предположению. Это противоречие устанавливает абсолютную непрерывность меры 
относительно меры 
Теорема доказана.
Следствие. Множество всех абсолютно непрерывных мер относительно заданной меры 
образует подпространство в 
