2. Примеры линейных операторов.

1. Матрицы. Пусть X — -мерное координатное пространство -мерное координатное пространство Покажем, что если задана матрица размера пгхп, то ею определен оператор, действующий из пространства X в пространство и заданный на всем пространстве Именно, если то полагаем

Таким образом, вектору х поставлен в соответствйе вектор т. е. определен оператор.

Легко проверить, что этот оператор является линейным.

2. Интегральный оператор. Рассмотрим пространство функций заданных на отрезке [0, 1] и суммируемых в квадрате:

Рассмотрим, далее, функцию двух переменных заданную в квадрате Будем предполагать, что квадрат этой функции суммируем:

На основании теоремы функция суммируема по и поэтому по теореме Фубини функция

суммируема. В силу оценки

функция принадлежит пространству Итак, доказано, что оператор

действует в пространстве Этот оператор называется интегральным оператором, а функция — его ядром.

Из свойств интеграла следует, что интегральный оператор является линейным.

3. Оператор дифференцирования. В пространстве С функций, заданных и непрерывных на интервале рассмотрим оператор Его областью определения является множество функций производные которых непрерывны, так что оператор А каждой функции ставит в соответствие функцию Из дифференциального исчисления известно, что производная сумма двух функций равна сумме их производных и что постоянный множитель можно выносить за знак производной. Это и значит, что оператор дифференцирования является линейным.