Приложение к главе VII. РАЗРЕШИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 7. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
1. Уравнения в евклидовых пространствах.
Пусть 
евклидово остранство, А — ограниченный линейный оператор, действующий в и определенный на всем пространстве 
Рассмотрим уравнение
считается заданным, 
искомым вектором. Уравнение
называют однородным уравнением, соответствующим уравнению (1.1). Ввиду линейности оператора А имеем 
Действительно, 
Таким образом, уравнение (1.2) разрешимо. 
может быть не единственным решением уравнения (1.2). Множество всех решений 
уравнения (1.2) будем обозначать 
Теорема 1. Множество 
всех решений 
уравнения (1.2) оазует линейное пространство.
Доказательство. Пусть 
Тогда 
так что 
Аналогично доказывается, что 
— число, то 
Все аксиомы линейного пространства теперь следуют из того, что 
есть линейное пространство. Теорема 2. Пусть 
решение уравнения (1.1). Тогда общее иение уравнения (1.1) имеет вид
произвольный элемент из 
Доказательство. То, что любой элемент вида (1.3) есть решение уравнения (1.1), очевидно: 
Обратно, пусть 
эизвольное решение уравнения (1.1): 
Тогда 
и, следовательно, обозначая 
получим 
откуда следует 3).
Рассмотрим оператор А, сопряженный к оператору А. Уравнение
однородным сопряженным к (1.1) уравнением. Обозначим через 
область значений оператора А, т. е. множество всех элементов вида 
когда х пробегает все 
Ясно, что 
гейное пространство.
Теорема 
есть ортогональное дополнение 
до 
Доказательство. Пусть 
т. е. 
и пусть 
существует такой элемент 
что 
Следовательно, 
Обратно, пусть х ортогонален 
Это значит, что 
для 
Но тогда, положив 
получим 
так что 
т. е. 
Теорема доказана. Из теоремы 3, в частности, следует, что для разрешимости уравнения (1.1) необходимо, чтобы выполнялось условие
во всех 
Действительно, если уравнение (1.1) разрешимо для шого 
то 
Кроме того, мы получаем также, что если уравнение (1.1) разрешимо при любой правой части, то уравнение (1.4) имеет только нулевое решение.
