4. Обратные матрицы.
На свойствах определителя основано вычисление обратной матрицы. Докажем сначала следующие равенства:
где 
- элементы матрицы 
алхеираические дополнения; 
при 
при 
Для этого рассмотрим матрицу 
которая получится, если в матрице 
на место 
строки поставлена 
Тогда при 
содержит две одинаковые строки и поэтому 
При 
Таким образом, 
С другой стороны, разложение 
по элементам 
строки дает левую часть равенства (4.1).
Равенство (4.2) доказывается аналогично.
Из равенств (4.1) и (4.2) следует, что если
то матрица 
элементы 
которой, стоящие на пересечении 
строки и 
столбца, задаются равенством
является обратной к матрице А.
Таким образом, условие (4.3) является достаточным для обратимости матрицы 
Но оно, очевидно, и необходимо, так как из равенства 
следует 
так что имеет место (4.3). Доказана следующая теорема.
Теорема. Для обратимости квадратной матрицы А необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. При выполнении этого условия элементы обратной матрицы вычисляются по формуле (4.4).
