Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Обратные матрицы.

На свойствах определителя основано вычисление обратной матрицы. Докажем сначала следующие равенства:

где - элементы матрицы алхеираические дополнения; при при Для этого рассмотрим матрицу которая получится, если в матрице на место строки поставлена Тогда при содержит две одинаковые строки и поэтому При Таким образом, С другой стороны, разложение по элементам строки дает левую часть равенства (4.1).

Равенство (4.2) доказывается аналогично.

Из равенств (4.1) и (4.2) следует, что если

то матрица элементы которой, стоящие на пересечении строки и столбца, задаются равенством

является обратной к матрице А.

Таким образом, условие (4.3) является достаточным для обратимости матрицы Но оно, очевидно, и необходимо, так как из равенства следует так что имеет место (4.3). Доказана следующая теорема.

Теорема. Для обратимости квадратной матрицы А необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. При выполнении этого условия элементы обратной матрицы вычисляются по формуле (4.4).

1
Оглавление
email@scask.ru