РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Этот раздел содержит в основном теорию граничных (краевых) задач для эллиптических и параболических уравнений. При изложении этой теории мы последовательно придерживаемся концепции обобщенного решения, что не только позволяет ставить и решать краевые задачи при весьма слабых ограничениях на область и коэффициенты уравнений, но и существенно упрощает их исследование, избавляя от необходимости доказывать гладкость решений. Тонкие вопросы о гладкости решений на этом пути отделяются от вопросов о разрешимости и единственности и, когда это необходимо, могут быть исследованы независимо.

Новое определение обобщенного решения как функции класса излагаемое здесь впервые, позволяет обобщать и усиливать известные результаты для этих уравнений. При этом не требуется никакой гладкости от границ рассматриваемых областей. Краевые задачи рассматриваются в областях, являющихся открытыми множествами с конечным периметром. Коэффициенты линейных уравнений, как правило, — ограниченные измеримые функции, а правые части — функции, суммируемые с квадратом. Нужно отметить, Что на практике нередко приходится иметь дело как с негладкой границей области, так и с разрывными коэффициентами, так что концепция обобщенною решения имеет не только теоретические удобства, по и вызвана потребностями прак тики

При исследовании нелинейных уравнений весьма полезными оказываются теоремы о монотонной зависимости решений от граничных условий и правых частей, которые доказываются непосредственно для обобщенных решений. Это позволяет последовательно пользоваться техни кой верхних и нижних функций и формулировать основные теоремы о разрешимости в терминах этих функций. Удобство такого подхода состоит в том, что не требуется специальных ограничений (типа ограничений роста функций), которые обычно накладываются для получения априорной оценки модуля решения. Во всех случаях подобного рода ограничений верхняя и нижняя функции легко строятся.

Несколько в стороне от основного материала этого раздела оказался материал главы VI, где излагаются некоторые вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Хотя она представляет собой самостоятельную область математики и обычно не включается в раздел уравнений математической физики, мы сочли уместным дать в форме справочника минимум сведений из этой теории, необходимых для понимания последнего раздела книги. Эта глава не опирается на предыдущие разделы книги. Изложение в ней носит в основном конспективный характер. Особенно это относится к последним двум параграфам. В частности, изложение понятия предельного цикла и связанных с ним вопросов является чисто описательным. Применение излагаемых

понятий и методов иллюстрируется на примерах. Ряд таких примеров читатель найдет в главе XI. Многие понятия и методы находят применение в главе при исследовании уравнений химической кинетики

Глава VII посвящепа теории граничных задач для линейных эллиптических уравнений В § 2, 3 доказаны теоремы о разрешимости (типа теорем Фредгольма) для сопряженной пары граничных задач и установлена полнота системы собственных функций. При этом используется георема о, полной непрерывности оператора вложения пространства в пространство доказанная в предыдущем разделе, с помощью которой граничные задачи сводятся к эквивалентным уравнениям с вполне непрерывными операторами. Эти результаты справедливы также и для систем уравнений при выполнении определенных условий, которые легко могут быть сформулированы. Для понимания теорем о разрешимости граничных задач требуется знание теории Фредгольма для уравнений с вполне непрерывными операторами в гильбертовом пространстве. Для удобства читателя эта теория включена в виде приложения к главе VII.

В § 4 с помощью фундаментального решения для уравнения Лапласа получено потенциальное представление функций из в том числе разрывных, выражающее эти функции через их первые обобщенные производные. Показано, что на множестве точек скачка рассматриваемой функции это представление имеет вид потенциала двойного слоя. В остальной части этого параграфа излагаются известные методы доказательства гладкости обобщенных решений с помощью фундаментального решения В этом месте рассмотрения ведутся строго внутри области, и аппарат анализа в классах не используется. Он применяется по существу в следующем параграфе (§ 5) при изучении функции Грина граничной задачи и выражении решения через нее, так как здесь приходится учитывать влияние границы и граничных условий.

Важным свойством решений эллиптических граничных задач является свойство положительности решения при положительных правых частях. Из него следуют, в частности, оценки решений в равномерных нормах. В § 6 доказана положительность обобщенных решений, принадлежащих пространству без каких бы то ни было дополнительных условий гладкости решений, а также строгая положительность первой собственной функции. Эти результаты дают возможность в дальнейшем (глава IX) проводить исследование граничных задач для квазилинейных эллиптических уравнений, систематически используя аппарат верхних и нижних функций непосредственно для обобщенных решений, не заботясь об их гладкости.

Теория параболических уравнений (глава VIII) излагается для уравнений дивергентного вида. Это непринципиальное ограничение вызвано применяемым методом построения решений. Не желая дальнейшего увеличения объема книги, мы ограничиваемся построением решений с помощью разложения но собственным функциям (метод Фурье) и принципа сжатых отображений, изложенных в предыдущих главах.

В § 1 вводятся понятие обобщенного решения краевой задачи для линейного уравнения и необходимые для этого функциональные пространства. Доказаны интегральная априорная оценка решения и теорема единственности. Кроме того, доказана важная при исследовании нелинейных уравнений теорема о положительности решения.

Изложению метода Фурье посвящен § 2.

В § 3 вводится понятие верхней и нижней функций краевой задачи для квазилинейного уравнения и доказывается теорема о разрешимости задачи при наличии верхней и нижней функций. Требование о наличии таких функций менее ограничительно, чем различные условия (см. 130, 37]), служащие для оценки модуля решения Следует отметить, что

локальная разрешимость различных задач для параболических уравнений [54, 61] имеет безусловный характер, т. е. не требует каких бы то ни было дополнительных ограничений.

В § 4 рассматривается задача Коши для простейшего вида линейных и квазилинейных параболических уравнений.

Решение краевой задачи для квазилинейного эллиптического уравнения (глава IX) мы рассматриваем как установившееся решение соответствующего параболического уравнения и строим его как предел при решения подходящей краевой задачи для параболического уравнения. Основная теорема о разрешимости (§ 1) состоит в том, что при. наличии верхней и нижней функций, связанных естественным неравенством задача разрешима и существует хотя бы одно решение, лежащее между нижней и верхней функциями. При этом выше нижней функции всегда оказывается наименьшее решение, а ниже верхней функции — наибольшее. Единственность решения, вообще говоря, не имеет места.

На основе этой теоремы в § 2 строится теория критического значения (аналог собственного значения в линейном случае). Получены условия существования и важные количественные оценки для критического значения. Эти результаты находят приложения, например, в теории теплового взрыва (глава X).

В § 3 рассматриваются вопросы устойчивости решения. Понятие устойчивости, используемое при этом, является естественным обобщением понятия асимптотической устойчивости стационарной точки обыкновенного дифференциального уравнения Вводится понятие отделимости решения, которое оказывается эквивалентным понятию устойчивости и является удобным критерием устойчивости Получены простые достаточные условия устойчивости и единственности устойчивого решения.

В § 4 обосновывается некоторый метод приближенного решения нелинейных эллиптических и параболических уравнений — метод весового осреднения, который находит многочисленные приложения в задачах макрокинетики. Некоторые из них приведены в главе

Глава IX написана в основном по материалам работ [55, 56, 58]. Однако изложение с точки зрения обобщенных решений и примененный при этом новый подход к понятию обобщенного решения позволили существенно упростить изложение и расширить класс рассматриваемых областей и граничных условий. Хотя изложение ведется для уравнений с линейной и дивергентной главной частью, однако многие результаты переносятся на широкий класс квазилинейных эллиптических уравнений (ср. [55]). По поводу других результатов и методов теории эллиптических и параболических уравнений, а также имеющейся обширной литературы авторы отсылают читателя к фундаментальным работам [1, 21, 30, 31,37,49,61].